Kruskal

Posted 2020-12-13 wozuishuaiwozuiniu6

一、概述

最小生成树问题顾名思义，概括来说就是路修的最短。

最小生成树相关概念：

带权图：边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。

最小生成树（MST）：权值最小的生成树。

最小生成树的性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。

完成构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：

（1）尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；

（2）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；

prim算法适合稠密图，kruskal算法适合简单图。

二、kruskal算法

kruskal远离更为简单粗暴，但是需要借助并查集这一知识。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用的最小边权的边（可以直接快排或者algorithm的sort）。每次选择边权最小的边链接两个端点是kruskal的规则，并实时判断两个点之间有没有间接联通。

现在我来模拟一下:

假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：

根据kruskal的原理，我们需要对边权dis进行排序，每次找出最小的边。

排序后，最小的边自然是第8条边，于是4和6相连。

遍历继续，第二小的边是1号，1和2联通。

再后来是边3连接1,4。

dis也是14的还有边5，它连接3,4。

其次是dis为15的边4，但是2和4已经相连了，pass。

然后是dis为16的两条边（边2和边9），边2连接1和3，边9连接3和6，它们都已经间接相连，pass。

再然后就是dis为22的边10，它连接5和6，5还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了n-1条边，结束，最后图示如下：

 

原理如此简单，代码也很好实现（给个模板）， 代码如下所示（注意细节）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,tot=0,k=0;//n端点总数，m边数，tot记录最终答案，k已经连接了多少边 
int fat[200010];//记录集体老大 
struct node
{
	int from,to,dis;//结构体储存边 
}edge[200010];
bool cmp(const node &a,const node &b)//sort排序（当然你也可以快排） 
{
	return a.dis<b.dis;
}
int father(int x)//找集体老大，并查集的一部分 
{
	if(fat[x]!=x)
	return father(fat[x]);
	else return x;
}
void unionn(int x,int y)//加入团体，并查集的一部分 
{
	fat[father(y)]=father(x);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);//输入点数，边数 
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&edge[i].from,&edge[i].to,&edge[i].dis);//输入边的信息 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) fat[i]=i;//自己最开始就是自己的老大 （初始化） 
	sort(edge+1,edge+1+m,cmp);//按权值排序（kruskal的体现） 
	for(int i=1;i<=m;i++)//从小到大遍历 
	{
		if(k==n-1) break;//n个点需要n-1条边连接 
		if(father(edge[i].from)!=father(edge[i].to))//假如不在一个团体 
		{
			unionn(edge[i].from,edge[i].to);//加入 
			tot+=edge[i].dis;//记录边权 
			k++;//已连接边数+1 
		}
	}
	printf("%d",tot);
	return 0;
}

自己的代码(繁忙的都市)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int a,b,w;
	inline bool operator < (const node &W)const{
		return w<W.w;
	}
}edge[10010];
int father[10010];
int findfather(int x){
	if(x==father[x]){
		return x;
	}
	return father[x]=findfather(father[x]);
}
void unionn(int x,int y){
	int fx=findfather(x),fy=findfather(y);
	if(fx!=fy){
		father[fy]=fx;
	}
}
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		father[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>edge[i].a>>edge[i].b>>edge[i].w;
	}
	int vis=0;
	sort(edge+1,edge+m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int fa=findfather(edge[i].a),fb=findfather(edge[i].b);
		if(fa!=fb){
			unionn(fa,fb);
			vis=edge[i].w;
		}
	}
	cout<<n-1<<" "<<vis<<endl;
	return 0;
}