题解 省选联考2020 组合数问题

Posted 2020-12-13 kylin-xy

我们要求的是 (sum_{k=0}^n f(k) imes x^k imes inom{n}{k})

把普通多项式 (f(k)=sum_{i=0}^m a_ik^i)转换成下降幂多项式(g(k)=sum_{i=0}^m b_ik^{underline{i}})

那么原式就是 (sum_{k=0}^n sum_{i=0}^m b_ik^{underline{i}} imes x^k imes inom{n}{k})

有一个性质是 (inom{n}{k} imes k^{underline{i}} = inom{n-i}{k-i} imes n^{underline{i}})

于是原式变成 (sum_{k=0}^n sum_{i=0}^m b_i imes x^k imes inom{n-i}{k-i} imes n^{underline{i}})

交换求和顺序 (sum_{i=0}^m b_i sum_{k=0}^n x^k imes inom{n-i}{k-i} imes n^{underline{i}})

(i>k)时后面的为0，所以枚举(k)可以转化为枚举(k-i)，就相当于(sum_{i=0}^m b_i sum_{k=0}^{n-i} x^{k+i} imes inom{n-i}{k} imes n^{underline{i}})

整理系数得 (sum_{i=0}^m b_ix^in^{underline{i}} sum_{k=0}^{n-i} x^k imes inom{n-i}{k})

发现后面添上1是二项式定理的展开（同subtask 4~8 (m=0)），式子变成 (sum_{i=0}^m b_ix^in^{underline{i}} (x+1)^{n-i})

现在问题在于求(b_i)，就是普通多项式转下降幂多项式。

因为(x^k = sum_{i=0}^k x^{underline{i}} imes S2(k,i))，(S2)表示第二类斯特林数。

所以(sum_{i=0}^m a_ik^i = sum_{i=0}^m a_i sum_{j=0}^i k^{underline{j}} imes S2(i,j))

相当于(sum_{i=0}^m k^{underline{i}} sum_{j=i}^m a_j imes S2(j,i))

那么(b_i=sum_{j=i}^m a_j imes S2(j,i))，可以(O(m^2))预处理，然后带回原式(O(m))计算。