形式语言与编译 九 CFG到CNF再到GNF 左递归消除

Posted 2020-12-13 fennleo

先找出(N_A簇，N_B簇，N_C簇)，先对(N_A簇)：是单产生式的 将来会因为替换而消除；不是单产生式的 直接放进新的集合

同理对(N_B簇,N_C簇)也是一样(这样一般得到三个"堆")

确实没了单产生式。

CFG的化简

建议做的过程：

1. 消除(epsilon) 产生式
2. 消除单产生式
3. 消除无用符号

按这个顺序做

这样化简后的CFG G1 与原来的CFG G相比，有(L(G_1)=L(G)-{epsilon})

对上面简化后的CFG进行标准化——Chomsky范式

本来我们的CFG文法它的形式是 (A->alpha,其中alphain(V_N cup V_T)^*) 也就是这个串有终结符和非终结符组成的串即可，要求并不严

现在我们进行乔姆斯基范式的正规化。目的就是让我们上面的定义受到一些约束，形成这种(A->BC,A->a ,ain V_T) 类型（(A->变元变元，A->终结符)）的。

(这里与我们的正则文法，可以类比，正则文法的形式是：(A->alpha , A->alpha B,alphain (V_T)^*)，也就是终结符组成的字符串 或者 终结符组成的字符串+变量)

注意：若语言(epsilon in L(G)) 就会有(S->epsilon)这样一条产生式加入产生式集合 这里很好理解,但是要求(S)只能当做开始符号，不能在到别的产生式的产生式体中，要是迫不得已，则就是我们引进$S_1->S与S_1->epsilon $

对每一个CFG 都有乔姆斯基范式CNF,也就是都可以化成(A->BC,A->a ,ain V_T) 这种形式

从上下文无关文发(CFG)到CNF(乔姆斯基范式)的算法

说明：

扫描原来产生式，如果是终结符，就把这个终结符拎出来，形成产生式 【新变量->终结符】 的形式，再把原来产生式中的终结符替换成新变量

如果是非终结符(变量)，把这个长的变量组成的串 想办法缩短成多个小短串(小短串的产生式体只包含不超过2个变量)

Greibach范式(GNF)

为什么要提出Greibach范式？？？

因为自上而下的推导中会产生回溯，回溯导致分析效率降低

产生回溯的原因：

• 存在(A->Ab) 左递归的非终结符
• 同一个非终结符的候选式们 有公共左因子 (产生体左边有一部分一样的)

如何避免回溯？？ 消除左递归！

Greibach范式的定义 ：

把所有产生式定义成：(A->aeta,Ain V_N ,ain V_T,etain (V_N)^*) 且G不含(epsilon) 产生式 模式：变量——>常量+纯变量串 和CNF范式一样的是：每一个CFG也都有对应的GNF

这里的多步推导 隐含意思（直接+间接）就是文法中几乎可以说 不能含有(A=>^*Aeta,A=>^*alpha A eta, …) 这种文法。一旦含有则直接被判定为递归文法

步骤：

• 生成式的替换(替换的目的是为 后面找到间接左递归做准备)

(截止这里，还没有正真的进行消除左递归，只是将所有可能隐含的左递归，通过替换算法给"发掘"出来)

• 消除直接左递归

先把不是左递归的部分copy过来；再给这些刚搞过来的产生式后面引入我们的新变量(A‘) ；再以新的(A‘)引出产生式，这些产生式的产生式体部分要么是原来递归产生式体的非递归部分 ，要么是原来递归产生式体的非递归部分 +(A‘) 进行右递归！

先把刹车部分和新引入的写出来；再由新引入的写出 原来递归中的重复部分，以及递归重复部分连接新引入的

消除左递归的宏观思路：

消除左递归之前，上图中的(eta)是一直到最后，才因替换而出现；消除左递归之后，上图中的(eta) 一开始很早就出现。

• 消除间接左递归

替换的过程就是类似于解方程组代入法。通常第一条作为核心方程式，第二条用第一条表示；第三条用第二条和第一条表示。

上面最后一部分 是不完整的，因为只用了(A_1)代入，没把(A_2)代入

我们代入的目的是形成直接左递归(暴露出原来隐含的左递归，而且是把已经知道的产生式代入(换句话说，序号小的产生式代入序号大的产生式)，比如

• 上面的 我们先看到(A_1) ，单个(A_1)形不成左递归；

  再看(A_2) ,我们的目的就是把(A_1) 代入到(A_2) 并且还要形成直接左递归的才带入，于是有(A_2->A_3A_1|A_2A_3b|ab) 注意到此时有了直接左递归；我们用消除左递归的方式产生右递归：有 (A_2->A_3A_1|ab|A_3A_1A_2‘|abA_2‘,,, ,,A_2‘->A_3b|A_3bA_2‘)

• (A_3)发现 我们可能要代入两次(由上面已知的(A_1,A_2,A_2‘)) 先将(A_1)代入(A_3) (A_3->A_2A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a) 再把(A_2)代入(A_3) 得到直接左递归形式：(A_3->A_3A_1A_3A_2|A_3A_1A_2‘A_3A_2|abA_3A_2|abA_2‘A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a) 然后把这个暴露出直接左递归形式的产生式进行消除左递归。得到 (A_3->abA_3A_2|abA_2‘A_3A_2|aA_2|A_3A_3|abA_3A_2A_3‘|abA_2‘A_3A_2A_3‘|aA_2A_3‘|A_3A_3A_3‘,A_3‘->A_1A_3A_2|A_1A_2‘A_3A_2|A_1A_3A_2A_3‘|A_1A_2‘A_3A_2A_3‘)

正确的应该是：

(A_3->A_2A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a=) 再把 递归部分产生式 可以替换的(本例是(A_2)) 用产生式再次替换,得：

(A_3->A_3A_1A_3A_2|abA_3A_2|A_3A_1A_2‘A_3A_2|abA_2‘A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a)

经过这样，就把所有的隐含左递归产生式 就给显现出来了！

然后按照正常的 把直接左递归变右递归就行了。

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CFG的化简注意事项：

消除(epsilon) 产生式 消除单产生式 消除无用符号

1. 首先判断原始CFG产生的语言中，有没有(epsilon) 因为我们有一条 【消除(epsilon) 产生式】

也就是说我们化简完了的CFG G，如果原来的产生式有(epsilon) ,那么那化简完由于没有 (epsilon) 产生式 ，所以得∪上(epsilon) 句子（引入新的开始符号(S‘)）；如果原来语言中就不含$epsilon $ ,那按步骤化简完即可。

2. 判断 变量 是否是可致空的，所谓 消除(epsilon) 产生式 ，就是把 (epsilon) 产生式代入这些变量，每一个变量都有两种可能：是(epsilon) ,不是(epsilon) 。比如$A->aBc，B->epsilon $ ,我们判断B是可以为(epsilon) 的,那么这两条产生式就可以变为(A->ac|aBc) 。

   (A->aBC,B->epsilon,C->epsilon) 就可以变为(A->aBC|aB|aC|a) 这就是***消除(epsilon) 产生式 *** [消(epsilon) 产生式]

3. 先识别哪些不是单位产生式，找到它！所谓消除单位产生式就是(A->B,B->alpha串) ,直接替代 入B，B实际上没用，得到(A->alpha串)

   (B->A,A->alpha_1|alpha_2|alpha_3) 变为 (B->alpha_1|alpha_2|alpha_3) [消单产生式]

4. 先判定变量是不是可生成的(每一个变量能够推推推到终结符)；再判定变量是可到达的(S变量能够推推推到目前变量) [消无用符号]

5. 化成乔姆斯基形式 我们的目的是把所有的产生式化成 (A->BC,A->a) 所以第一步，面对产生式体长度大于等于2的，能化成的，尽可能化成这种形式。比如：(A->aAS,B->BbB) 面对这种可以化成的，我们引进(C->a,D->b) 这样就可以化成(A->CAS,B->BDB) (把常量、变量混杂的换成全部变量形式) 这样换了以后，要么右部全部是变量，要么右部只有一个常量

   现在 把变量长度大于等于3的变量串 拆成变量长度是2的。比如：(S->ASB) 就可以拆成(S->AE,E->SB) ;(B->SDS)拆成(B->SG,G->DS) 完成！ [化成乔姆斯基范式]

化成乔姆斯基范式CNF 接下来我们拿着CNF将其化为GNF，GNF用处还是相当大的，这由GNF的形式所决定 (A->aeta) ,根据终结符(a) 我们可以消除不确定性，可以唯一的替换，避免回溯。

替换的目的是由已知推未知（低序号推高序号） 最终会是(Z->Zeta) 这种形式

然后消除直接左递归算法。

上面搞完后，会有一个符合要求的GNF范式，我们从这个符合要求的GNF要求进行入手，进行回填，会发现一步步都会产生符合要求的(GNF) ，直到所有的GNF都完成！