省选后数论学习

Posted 2020-12-13 shzr

　　省选差点被数论题送退役（指式子推复杂了，导致最后还有一个组合数模非质数，没写出来），决定重新学一些数论知识。

Lucas定理的证明

　　上来先写一个理性愉悦。

　　先来复习一下Lucas是啥：$inom{n}{m} \% p$ ，其中n,m比较大，p是一个不太大的质数；复杂度是预处理 $O(p)$，每次询问 $O(log_pm)$。

　　首先证明一个引理：$(1+x)^pequiv1+x^ppmod p$，考虑使用二项式定理展开左边，得到：

　　$sum_{i=0}^pinom{p}{i}x^i=sum_{i=0}^pfrac{p!}{i!(p-i)!}x^i=sum_{i=0}^pfrac{p(p-1)dots(p-i+1)}{i!}x^i$

　　先不考虑 $i=0$ 的情况，在 $i eq p$ 时，因为 $p$ 是质数，所以分子上的 $p$ 是不可能与分母约分的，也就是说，当 $i eq p$ 时，$inom{p}{i}x^iequiv0 pmod p$.即，$(1+x)^p=sum_{i=0}^pinom{p}{i}x^i=inom{p}{p}x^p+inom{p}{0}x^0=1+x^ppmod{p}$

　　当然，用费马小定理似乎也可以直接证明这个引理就是了...