P4779 模板单源最短路径（标准版） 题解

Posted 2020-12-12 bifanwen

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简要题意：

给定一个有向图，求从源点开始到各点的最短路。

前置知识：

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）

首先，我们考虑把原来 ( ext{Dijkstra}) 的算法考虑优化。

对于每个节点，松弛相邻节点，这部分无法优化。

但是寻找 ( ext{dis}) 最小值的过程，我们可以用 优先队列（即小根堆）实现。

怎么实现呢？

考虑一开始源点入队，队列记录每个点的 当前 ( ext{dis}) 最小值 和编号。

对当前节点，把所有相邻的节点松弛一遍，并把松弛成功的节点入队。

但是你发现一个问题，如果一个点被它相邻的点同时更新多次，就会入队多次，然后把一模一样的松弛进行很多遍，然后 (O(n^2)) 没了。

所以 因为我们开的是优先队列，因此入队的节点距离小的在前，每次对于相同的一个节点，先遍历的一定最优。因此可以开一个哈希记录是否走过，走过则不走即可。

时间复杂度：(O(n log n)).

实际得分：(O(100pts)).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();return x*f;}

priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
int n,m,s,dis[N]; bool vis[N];
vector<pair<int,int> > G[N];

inline void Dijkstra(int s) {
	dis[s]=0; q.push(make_pair(0,s));
	while(!q.empty()) {
		int x=q.top().second;
		q.pop(); if(vis[x]) continue; vis[x]=1; //判断哈希
//		printf("%d
",x);
		for(int i=0;i<G[x].size();i++) {
			int v=G[x][i].first,w=G[x][i].second;
			if(dis[v]>dis[x]+w) {
				dis[v]=dis[x]+w;
				if(!vis[v]) q.push(make_pair(dis[v],v)); //松弛入队
			}
		}
	}	
}

int main(){
	n=read(),m=read(),s=read();
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	while(m--) {
		int u=read(),v=read(),w=read();
		G[u].push_back(make_pair(v,w));
	} Dijkstra(s);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); puts(""); 
	return 0;
}