斯特林数贝尔数与伯努利数基础

Posted 2020-12-12 algebra-hy

第一类斯特林数(无符号第一类斯特林数）(left[ natop m ight])

表示n个带标号元素划分为m个圆排列（圆排列本身之间不可区分）的方案数。

[left[ natop m ight]= left[ n-1atop m-1 ight]+(n-1) left[ n-1atop m ight] !=sum_{i=0}^{n}left[ n atop i ight]\\]

第二类斯特林数 (left{ n atop m ight})

表示n个带标号元素划分进m个集合（集合本身之间不可区分）的方案数。

[left{ n atop m ight}=left{ n-1 atop m-1 ight}+mleft{ n-1 atop m ight} ]

上式为定义式。

[left{ n atop m ight}=frac{1}{m!}sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}inom{m}{i}(m-i)^n ...... (1)\\]

上式可用容斥得到。就是枚举有多少个集合是空集，剩下的集合不管是不是空集随便放。

[left{ n atop m ight}=sum_{i=0}^mfrac{(-1)^i}{i!} imesfrac{(m-i)^n}{(m-i)!}\\]

上式是(1)的变形，可以使用卷积求出n一定m不同（一行）的第二类斯特林数。

[x^n=sum_{i=0}^nleft{n atop i ight} i! left( xatop i ight) =sum_{i=0}^nleft{ natop i ight}x^underline{i}\\]

上式为一个定理，证明就是把(1)式直接进行二项式反演即可。

贝尔数 (Bell(x))

表示n个带标号元素划分进若干个集合（集合本身之间不可区分）的方案数。

[Bell(n)=sum_{i=0}^{n} left{ n atop i ight}Bell(n+1)=sum_{k=0}^ninom{n}{k}Bell(k)\\]

伯努利数 (B(x))

注：部分推导思路参考于yyb巨佬的博客和Judge巨佬的博客

[sum_{i=0}^{n} inom{n+1}{i} B_i=0 ,~~ n>0 (B_0=1)B_n=-frac{1}{n+1}sum_{i=0}^{n-1}B_iinom{n+1}{i}, (n>0)\\]

定义式以及递推式。然后有如下推导可得伯努利数egf：

[B_n=sum_{i=0}^ninom{n}{i}B_i; ,; (n>1)\\frac{B_n}{n!}=sum_{i=0,i eq 1}^{n}(frac{B_i}{i!} imesfrac{1}{(n-i)!})\\sum_{i=0,i eq 1}^{infty}frac{B_i}{i!}=sum_{i=0,i eq 1}^{infty} sum_{j=0}^{i}(frac{B_j}{j!} imesfrac{1}{(i-j)!})\\sum_{i=0}^{infty}(frac{B_i}{i!}+[i=1])=sum_{i=0}^{infty} sum_{j=0}^{i}(frac{B_j}{j!} imesfrac{1}{(i-j)!})\\sum_{i=0}^{infty}(frac{B_i}{i!}+[i=1])x^i=sum_{i=0}^{infty} x^isum_{j=0}^{i}(frac{B_j}{j!} imesfrac{1}{(i-j)!})x+sum_{i=0}^{infty}frac{B_i}{i!}x^i=sum_{i=0}^{infty} x^isum_{j=0}^{i}(frac{B_j}{j!} imesfrac{1}{(i-j)!})x+B(x)=B(x)e^xB(x)=frac{x}{e^x-1} ]

以下是对一个常见定理的表述:

[sum_{i=0}^{n-1}i^k=frac{1}{k+1}sum_{i=0}^kinom{k+1}{i}B_i n^{k+1-i} ]

证明如下。我们令幂和的egf为(A(x)=sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}sum_{j=0}^{n-1}j^i)。此处为yyb大佬的神仙推导。

[egin{aligned} A(x)&=sum_{i=0}^{infty}(sum_{j=0}^{n-1}j^i)frac{x^i}{i!}=sum_{j=0}^{n-1}sum_{i=0}^{infty}j^ifrac{x^i}{i!}&=sum_{j=0}^{n-1}e^{jx}=frac{e^{nx}-1}{e^x-1}&=B(x)frac{e^{nx}-1}{x} end{aligned} ]

然后展开：

[egin{aligned} A(x)&=B(x)frac{e^{nx}-1}{x}&=B(x)frac{sum_{i=1}^{infty}n^ifrac{x^i}{i!}}{x}......(1)&=B(x)sum_{i=0}^{infty}n^{i+1}frac{x^i}{(i+1)!}&=sum_{i=0}^{infty}sum_{j=0}^{i}B_jfrac{x^j}{j!}n^{i+1-j}frac{x^{i-j}}{(i+1-j)!}&=sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{(i+1)!}sum_{j=0}^{i}frac{(i+1)!}{j!(i+1-j)!}B_jn^{i+1-j}&=sum_{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}frac{1}{i+1}sum_{j=0}^{i}inom{i+1}{j}B_jn^{i+1-j}\\end{aligned}\\therefore sum_{i=0}^{n-1}i^k=frac{1}{k+1}sum_{i=0}^{k}inom{k+1}{i}B_in^{k+1-i}\\]

小思考：((1))式分子可以用组合意义展开再用二项式定理合并系数。