汉诺塔问题(递归)

Posted 2020-12-12 ay-a

一、题目描述

? 相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号X、Y、Z)，在X杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘。游戏的目标：把X杆上的金盘全部移到Z杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于X、Y、Z任一杆上。

二、思路分析

? 假设X杆上有N个盘子，从小到大编号依次为1到n，下面就一步一步展示一下移动的过程。

• 当 n = 1 时，移动步骤如下：
  1. 直接从将编号为1的盘子从 X移动到 Z，此时 X= ; Y= ; Z=1
• 当 n = 2 时，移动步骤如下：
  1. 将编号为1的盘子从 X移动到 Y，此时 X=2 ; Y= 1; Z=
  2. 将编号为2的盘子从 X移动到 Z，此时 X= ; Y=1 ; Z=2
  3. 将编号为1的盘子从 Y移动到 Z，此时 X= ; Y= ; Z=1,2
• 当 n = 3 时，移动步骤如下：
  1. 将编号为1的盘子从 X移动到 Z，此时 X=2,3 ; Y= ; Z=1
  2. 将编号为2的盘子从 X移动到 Y，此时 X= 3; Y= 2; Z=1
  3. 将编号为1的盘子从 Z移动到 Y，此时 X= 3; Y=1,2 ; Z=
  4. 将编号为3的盘子从 X移动到 Z，此时 X= ; Y= 1,2; Z=3
  5. 将编号为1的盘子从Y移动到 X，此时 X= 1; Y=2 ; Z=3
  6. 将编号为2的盘子从 Y移动到 Z，此时 X= 1; Y= ; Z=2,3
  7. 将编号为1的盘子从 X移动到 Z，此时 X= ; Y= ; Z=1,2,3

接下来我们就结合上面的移动步骤来进行分析：

1. 首先在移动最下面就是最大的那个盘子之前肯定要先把其它的盘子移开，因为我们是要从X移动最大的盘子到Z上，其它的盘子就只能移动到Y上暂存(上述步骤中加粗部分的前几个步骤)。

2. 移开其它盘子之后就可以把最大的盘子从X移动到Z上了(上述步骤中加粗部分)。

3. 经历上面两个阶段之后我们已经把最大的盘子的移动完成了，剩下的盘子中最大的就能成了编号为n-1的盘子，其实只要重复的进行‘’移动最大的盘子“这个步骤，把编号为n-1的盘子移动到Z，编号为n-2的盘子移动到Z，多次重复之后整个过程就完成了。

4. 观察上述步骤中加粗的步骤后面的几个步骤，如当n=3时，步骤5，6，7和n=2时的移动步骤是相似的；当n=2时，步骤2和n=1时的移动步骤也是相似的。

可以将上面的移动过程分为三部(最大的盘子编号为n)：

1. 先从X移动第n个盘子上面的 n-1 个盘子到一个Y(中转)
2. 从X移动第n个盘子到Z，此时Z就空了，可以用作中转
3. 重复上述步骤移动剩下的 n-1个盘子

很明显这是一个递归的问题，需要注意一个细节(也是难点)就是这个作为中转的杆是在变化的

三、代码实现

#include <stdio.h>

// 将 i 从 src 移动到 dst
void Move(int i, char src, char dst)
{
	printf(" move %d form %c to %c
", i, src, dst);
}

void Hanoi(int n, char src, char temp, char dst)
{
	if (n == 1)
	{
		Move(n, src, dst); //一层时直接移动
	}
	else
	{
		Hanoi(n - 1, src, dst, temp); // 将 1到n-1 从src移动到temp,dst作为中转
		Move(n, src, dst); //将n移到dst
		Hanoi(n - 1, temp, src, dst); // 将 1到n-1从temp移动到dst,src作为中转
	}
}


int main()
{
	char x = ‘X‘, y = ‘Y‘, z = ‘Z‘;
	Hanoi(3, x, y, z);
	return 0;
}