整除分块小记

Posted 2020-12-12 smsylby

一个在反演里面经常用到的小技巧。

整除分块是用来解决一个整除的求和问题： (sumlimits_{i=1}^{n} lfloor frac{n}{i} floor)

如果直接暴力算，(O(n)) 的时间复杂度肯定接受不了。

但是观察得到，对于一些 (i)，(lfloorfrac n i floor)的值是相同的。

例如 (n=10) 时：（为了方便表示，下面的 / 都表示向下取整的除法）

(10/1 = 10)

(10/2 = 5)

(10/3 = 3)

(10/4 = 10/5 = 2)

(10/6 = 10/7 = 10/8 = 10/9 = 10/10=1)

不妨把结果相同的 (i)，都归为一个块，那么总块数不会超过 (2sqrt n) 个。

证明：

当 (i<=sqrt n) 时，有 (sqrt n) 种不同的块；

当 (i>sqrt n) 时，(lfloorfrac n i floor < sqrt n)，也有 (sqrt n) 种不同的块。

证毕。

如果知道一个块的左端点是 (l)，那么这个块的右端点是 (n/(n/l))。

证明略

然后就可以在 (O(sqrt n)) 的时间内解决类似上面这样的问题了。