A*算法

Posted 2020-12-12 duanshuai

一. 算法思想

在使用best-first的搜索策略时，有时可以得到最优解，有时无法得到最优解，因此best-first只能较快的解决可行解问题。

A*算法是  重新定义代价函数，使得best-first搜索策略可以得到优化解的算法

A*算法（Best-first + 特殊代价函数~> 优化解）

a. 设计g(n)、h(n)、f(n):(带*为实际值，不带*为估计值) 

g(n)＝从树根到n的代价（原best-first中的代价函数）

h(n)＝n到目标节点优化代价估计值（【要求】：新构造的估计函数，满足：h(n)<=h*(n) ）

f(n)＝g(n)+ h(n)是节点n的估计代价（A*算法的估计代价函数，满足f(n)<=f*(n) ）

思想：抵达目标结点时，同时满足

            （1）算法本身保证的估计值始终小于等于最优解

            （2）作为可行解始终大于等于最优解

 

b. 根据best-first搜索策略即可得到优化解

二. 正确性证明

证明：A*算法得到的解一定是优化解

令n是任意扩展到的节点, t 是第一个抵达的目标结点.

往证：当f(t)=g(t)时，即得到优化解代价.

(1)A*算法使用Best-first策略, f(t) <= f(n)

 

(2).A*算法使用h(n)<=h*(n)估计规则, f(t)<=f(n)<=f*(n).

(3). {f*(n)}中必有一个为优化解的代价,令其为f*(s). 我们有f(t) <= f*(s).

(4). t是目标节点h(t)=0,所以f(t)=g(t)+h(t)=g(t) <= f*(s).

(5). f(t)=g(t)是一个可能解,g(t) >= f*(s),f(t)=g(t)=f*(s).

三. 算法应用

【最短路径问题】

• 问题定义：

                     

• 算法设计：

（1）设计g(n)、 h(n)：

g(n)：出发点到当前点的代价（构造时参考best-first策略）

h(n)：当前点的最小出边权值（构造时只需满足h(n) <= h*(n)即可）

（2）Best-first策略得到最优解即可