Computer Graphics note:视图变换&投影变换

Posted 2020-12-12 flyerbird

目录

• 前提
• 视图变换
  • 推导过程
• 投影变换
  • 正交投影(右手系)
  • 透视投影
    • 视锥定义
    • 怎么做透视投影$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}$
    • 前提规定
    • 推导过程
    • Question:frustum中间的点的变化
      • 推导过程

前提

Games101 lecture4-lecture5
考虑将三位物体转换二维图像需要的步骤，我们需要以下变换来达成目的，
model transformation(模型(基础)变换--Object就位)
view/camera transformation(视图变换--调整相机)
projection transformation(投影变换--变换到([-1,1]^3),忽略深度信息(z),变成([-1,1]^2))
viewport transformation(视口变换--投影到屏幕空间)
如下图所示(Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 7.1 Viewing Transformations Figure 7.2)：

视图变换

? 首先需要定义一个相机，一个相机有三个属性，位置(Positon)(pmb{e})，观测方向(Look-at/ gaze direction)(pmb{g})和向上方向(Up direction)(pmb{t})。
? 同时只要相机和物体之间没有相对运动，观测结果就不会改变，则可以让相机固定在原点，向上方向为(Y)方向，看向(-Z)方向，而这就需要通过变换矩阵(M_view)来自达成(需要注意的是物体也会随着相机移动而移动，因为要保证两者之间没有相对运动)，该矩阵需要完成如下操作:

1. 将原来在任意点(pmb{e})的相机平移到原点
2. 将观测方向(pmb{g})旋转到(-Z)方向
3. 将向上方向(pmb{t})旋转到(Y)方向
4. 将{(pmb{g})X(pmb{t})}方向旋转到(X)方向(当前两个方向旋转完成之后，(X)方向自然对齐)
   如下图所示:

(M_{view})先平移在旋转(和仿射变换不同)，即(M_{view}=R_{view}T_{view})。
最后结果如下:

[M_{view}=R_{view}T_{view}=egin{bmatrix} x_{gXt} &y_{gXt}&z_{gXt}&0 x_t&y_t&z_t&0 x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0&0&0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} 1&0&0& -x_e&1&0& -y_e&0&1& -z_e&0&0& 1end{bmatrix} ]

推导过程

首先是平移到原点，可以很自然的写出其平移矩阵(T_view)如下:

[T_view=egin{bmatrix} 1&0&0& -x_e&1&0& -y_e&0&1& -z_e&0&0& 1end{bmatrix} ]

接着考虑旋转，将任意方向旋转到(X,Y,-Z)方向上不容易写出，但是可以考虑其逆变换，写出将(X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1))旋转到{(pmb{g})X(pmb{t})},(pmb{t}),(pmb{-g})的旋转矩阵(R_{view}^{-1}),并且由于旋转矩阵是正交矩阵，所以只要写出(R_{view}^{-1})，其转置矩阵即为所求,如下所示：

[R_{view}^{-1}=egin{bmatrix} x_{gXt} &x_t&x_{-g}&0y_{gXt} &y_t&y_{-g}&0z_{gXt} &z_t&z_{-g}&0&0&0&1 end{bmatrix} ]

可以通过将上述矩阵应用与三轴来检验其正确性。(R_{view})如下所示:

[R_{view} = R_{view}^{(-1)(-1)}=R_{view}^T= egin{bmatrix} x_{gXt} &y_{gXt}&z_{gXt}&0 x_t&y_t&z_t&0 x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0&0&0&1 end{bmatrix} ]

所以最终的(M_{view})如开头所示。

投影变换

投影变换目的就是将物体变换到([-1,1]^3)。想要得到二维图像，可以去掉(z)，变成([-1,1]^2)。变换分为两种，正交(orthographic)投影和透视(prespective)投影。透视投影存在近大远小的现象，而正交投影则不会，这是两者的本质区别，两者分别如下图所示:
图片来源:https://stackoverflow.com/questions/36573283/from-perspective-picture-to-orthographic-picture

上图中透视投影围成一个视锥(四棱锥)，而视锥中从某一个深度到另一个深度之间的区域叫做(frustum),而透视投影就是将(frustum)中的东西显示到近平面((Near) (clip) (plane))上。

正交投影(右手系)

首先定义一个空间中的立方体(只需定义6个面,左右上下前后)，([l,r])x([b,t])x([f,n]),需要注意的是远平面((f))和近平面((n))，有(pmb{n}>pmb{f})因为看向(-Z)(右手系),所以物体越远则其对应的(Z)的值越小，反之越大。如果是左手系则越远(Z)越大，因为看向的(+Z)方向。然后将立方体中心平移到原点，并将其缩放成(canonical)(正则规范标准立方体) (cube [-1,1]^3),忽略(z),则变为([-1,1]^2)。
如下图所示：

先将立方体中心((frac{r+l}{2},frac{t+b}{2},frac{n+f}{2}))平移到原点，然后缩放到([-1,1]^3)(长宽高为(2))，这里的缩放其实就是将立方体的长宽高缩放为(2)，其变换矩阵(M_{ortho})如下:

[M_{ortho}=egin{bmatrix} frac{2}{r-l} &0&0&0& frac{2}{t-b} &0&0&0& frac{2}{n-f} &0&0&0 &1 end{bmatrix} egin{bmatrix} 1&0&0& -frac{r+l}{2}&1&0& -frac{t+b}{2}&0&1& -frac{n+f}{2}&0&0& 1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} frac{2}{r-l}&0&0&-frac{r+l}{r-l}&frac{2}{t-b}&0&-frac{t+b}{t-b}&0&frac{2}{n-f}&-frac{n+f}{n-f}&0&0&1 end{bmatrix} ]

透视投影

视锥定义

透视投影的视锥定义只要定义两个东西1.垂直可视角度$Y(2.宽高比)aspect$，如下图所示：

从侧面观察，则近平面距离相机距离为(|n|),如下图所示:

怎么做透视投影(M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho})

1. 首先将(frustum)挤压成一个长方体((M_{persp->ortho}))(([l,r])x([b,t])x([f,n]),)；
2. 然后再做一次正交投影((M_{ortho}),已知)。即可完成投影到近平面的任务。

如下图所示:

前提规定

1. 在挤压过程(第一步)中(frustum)的近平面(n)上点不变；

2. (f)平面的(Z)值不变,因为只是在收缩；

3. (f)平面的中心点是不会改变的(挤压完还是中心点)。

推导过程

先单独考虑挤压过程，我们需要找到一个矩阵来完成变换。
考虑下图，从视锥的侧面看，我们需要将((x,y,z))挤压到和近平面上点((x‘,y‘,z‘))一样的高度，考虑相似三角形，则有(y‘=frac{n}{z}y)；同理(从上面看)，对于(x)而言有(x‘=frac{n}{z}x)。

需要注意的是，这里(pmb{n},pmb{z})在图上表示的是距离原点的距离(负(Z)方向)，所以是个负数。

至此，已知挤压过程(x,y)的变换，(z)未知，将上述变换用齐次坐标，同时在基础变换中我们提到过对于齐次坐标而言，((x,y,z,w)^T(w!=0))表示的点即为((frac{x}{w},frac{y}{w},frac{z}{w},1)^T)。 所以有如下关系:

[M_{persp->ortho}egin{bmatrix} x\y\z\1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} frac{n}{z}x \ frac{n}{z}y \ ? \1 end{bmatrix}stackrel{同乘z}{=}egin{bmatrix} nx\ny\?\z end{bmatrix} ]

从中可以反推出(M_{persp->ortho})如下:

[M_{persp->ortho}=egin{bmatrix} n&0&0&0 &n&0&0 ?&?&?&? &0&1&0 end{bmatrix} ]

同时因为挤压过程中近平面点不变，远平面点(Z)值不变。则对于一个近平面上点((x,y,n,1)^T)(假设近平面上的(z)的值为(n))。考虑齐次坐标中一个点可以有很多不同的表示，同理则有((x,y,n,1)^Tstackrel{同乘n}{=}(nx,ny,n^2,n)^T)变换后是不变的。所以有如下关系:

[M_{persp->ortho}egin{bmatrix} x\y\n\1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} nx\ny\?\z end{bmatrix}=egin{bmatrix} nx\ny\n^2\n end{bmatrix} ]

则可以推出变换矩阵的第三行为((0,0,A,B)),即有式子((1))如下：

[egin{bmatrix} 0&0&A&B end{bmatrix}egin{bmatrix} x\y\n\1 end{bmatrix}=n^2 ag{1} ]

再考虑(f)平面中(z)不变，且中心点不变，则对于其中心点((0,0,f,1))(假设远平面上(z)值为(f))。则有如下关系式子((2)):

[egin{bmatrix} 0\0\f\1 end{bmatrix}stackrel{同乘f}{=}egin{bmatrix} 0\0\f^2\f end{bmatrix}Rightarrowegin{bmatrix} 0&0&A&B end{bmatrix}egin{bmatrix} 0\0\f\1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0\0\f^2\f end{bmatrix} ag{2} ]

由((1)(2))可得，如下结果

[egin{cases} An+B=n^2Af+B=f^2 end{cases}Rightarrowegin{cases} A=n+fB=-nf end{cases} ]

则有

[M_{persp->ortho}=egin{bmatrix} n&0&0&0 &n&0&0 &0&n+f&-nf &0&1&0 end{bmatrix} ]

所以透视投影变换矩阵计算如下:

[M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}=egin{bmatrix} frac{2n}{r-l}&0&-frac{r+l}{r-l}&0&frac{2n}{t-b}&-frac{t+b}{t-b}&0&0&frac{n+f}{n-f}&-frac{2nf}{n-f}&0&1&0 end{bmatrix} ]

Question:frustum中间的点的变化

在(frustum)中间任何一个位置，比如点((x,y,frac{n+f}{2},1)^T)，经过挤压之后(不做第二步正交)更加靠近远平面还是近平面？(远平面)

推导过程

先将(M_{persp->ortho})应用到该点上，如下：

[M_{persp->ortho}egin{bmatrix} x\y\frac{n+f}{2}\1 end{bmatrix}=egin{bmatrix} nx\ny\ frac{(n+f)^2}{2}-nf\ frac{n+f}{2} end{bmatrix}stackrel{规范化，同除以frac{n+f}{2}}{=}egin{bmatrix} frac{2nx}{n+f}\ frac{2ny}{n+f} \ n+f-frac{2nf}{n+f}\1 end{bmatrix} ]

比较变换前后两点的(Z)值大小，如下：

[egin{aligned} n+f-frac{2nf}{n+f}-frac{n+f}{2} &= frac{n+f}{2}-frac{2nf}{n+f} \ &= frac{(n+f)^2-4nf}{2(n+f)}&= frac{(n-f)^2}{2(n+f)} end{aligned} ]

前面提到此时的(n,f)是个负数，所以有((n-f)^2>0)，((n+f)<0)，即更加靠近远平面。