一点有趣的数论结论（持续更新中）

Posted 2020-12-12 skiceanakacniu

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[sumlimits_{i=1}^n mu(i) = [n=1] ]

证明：设(n)的质因子有(k)个，那么由(mu)的定义，左式显然等于(sumlimits_{i=0}^k(-1)^kLargeinom{i}{k} ormalsize=(1+(-1))^k=0^k=[k=0]) ，也显然有([k=0]=[n=1])，证毕。

2

[sumlimits_{imid x}sumlimits_{jmid y}[(i,j)=1]=d(xy) ]

考虑把(x,y)质因子分解。设(large x=prod p_i^{alpha_i}, y=prod p_i^{eta_i})，则左式中(i,j)中相同的质因子只能分给其中的一个，故枚举每个质因子分给(i)还是(j)还是都不给，最终答案为(prod{alpha_i + eta_i + 1}=d(xy))，证毕。

3

(sumlimits_{dmid n}varphi(d)=n quad) (即(varphi * I = id))

(ecauseforall dmid n, varphi(Large frac nd ormalsize)=sumlimits_{i=1}^n[(i,n)=d])
( hereforesumlimits_{dmid n}varphi(d)=sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{dmid n}[(i,n)=d]=n)

4

上面的结论再两边狄利克雷卷积一下得到：
(varphi = id * mu) 即
(varphi(n)=sumlimits_{dmid n}mu(Large frac nd ormalsize)d)

5

对于质数(p)，设(n=p-1, F(d)=sumlimits_{a=1}^n [delta_p(a)=d])，其中(delta_p(a)=min{k|kinBbb{N^+} wedge a^kequiv 1mod p})，则(forall dmid n, F(d)=varphi(d))

推论：(F(n)=varphi(n))即质数(p)恰有(varphi(n))个原根

证明：

1. (n)次多项式至多有(n)个根，在模意义下也是如此。(疑似因式定理，证明略)

2. 由费马小定理得出，(x^n=1)恰有(n)个根(1,2,cdots,n)。任取(dmid n),则可将(x^n-1)分解出因式(x^d-1)。而分解结果的另一部分为(n-d)次式，由1知(n-d)次式至多有(n-d)个根，即(x^d=1)至少有(d)个根。再次结合1，可得(x^d=1)恰有(d)个根。

3. (F(d)le varphi(d))

   当(F(d)=0)时，显然成立。否则取任意一个(a)满足(delta_p(a)=d)，则(a^1sim a^d)互不相同，且都是(x^d=1)的根。由1知这就是(x^d=1)的(d)个根。此时再取一个数(k)满足(1le kle dspacewedge (d,k)>1)，则容易发现(a^k)是(x^{d/(d,k)}=1)的根，故(delta_p(k)<d)，舍，结论得证。

4. 我们知道，(sumlimits_{dmid n}F(d)=n)，(sumlimits_{dmid n}varphi(d)=n)。（很显然吧。。。）结合3，只能(forall dmid n, F(d)=varphi(d))。证毕。