分支界限法的应用

Posted 2020-12-12 duanshuai

一. 人员安排问题

• 问题定义：

-输入：

人员：P={ P1,P2…Pn} ; 工作：J={J1,J2…Jn} ; 矩阵[Cij]：表示Pi完成Jj的代价

限制条件：P是全序集，J是偏序集，要优先把高难度的任务分配给业务能力强的人员（即：分配任务的一 一映射函数f：若f(Pi) < f(Pj),则 Pi < Pj ）

-输出：

[Xij]：Xij=1表示Pi完成Pj工作，否则Xij=0，使∑CijXij最小

• 算法设计

若无限制条件：最大二分匹配问题：匈牙利算法/最大流的FF算法

有限制条件：搜索的问题

• 如何转化成图的搜索问题

问题解空间：若 P1~>Jk1 , P2~>Jk2 ,…Pn~>Jkn ， 则Jk1,Jk2,Jk3满足拓扑序

将可行解空间表示为拓扑树。

该问题的拓扑树如下

                     

 

 

 树高 i 表示Pi，结点 j 表示任务Jj

• 算法设计

（1）得到拓扑序列树

      输入：偏序集合S,树根root
      输出：由S的所有拓扑排序序列构成的树
      1. 生成树根root
      2. 选择偏序集合中没有前驱元素的所有元素，作为root的子节点
      3. 对于root的每一个子节点v Do
      4.       S = S - {v}
      5.       把v作为根，递归地处理S。

（2）分支界限求解

a. 得到每个步骤的尽可能大的下界：维护每个步骤尽可能大的下界的一个优先队列，有利于更快的剪枝

将矩阵[Cij]每行、列减去最小值，将减去的最小值求和得到初始问题的下界

b. 得到优化解的上界：用爬山法搜索得到一个可行解，作为优化解的上界

每次比较当前步骤的下界和优化解的上界来进行剪枝

c. 更新最优解的上界，重复步骤b，直到所有分支被剪去

二. 旅行商问题

• 问题定义：

输入：带权无环无向连通图G=（V，E）

输出：一条由任意节点开始，经过每个节点一次，最后返回开始节点的路径，该路径的代价最小。

• 算法设计

                      （1）可以使用上述问题中由每一步最大下界和整体上界的方法剪枝

上述方法每次只能剪去1/n的分支，在这里我们给出一种更优的思路：

改变解空间的定义方法，将问题的解空间表示成二叉树，这样可以一次剪去1/2的分支

                    （2）使用二叉树的分支界限法

a.预处理：[Xij] ：表示i~>j的权值，二叉树T：结点表示路径，左子树表示包含该路径的解空间，右子树表示不包含该路径的解空间

b.剪枝技巧：1. [Xij]每行列减去最小值得到初始问题的下界

                     2. 结点表示路径的选取要使左右子树差距更大，利于剪枝

                                     设最优选取的路径为ij，满足ij最小，且im + kj最大（矩阵点ij对应行列最小值的和最大）

c. 分支界限过程

左子树：贪心选择的局部最优解（获得问题的上界）

右子树：每一步骤对应的最大下界

d. 不断剪枝更新上界，直到分支为0，问题上界即为所求

注意：保证每次的上界是一个可行解（避免出现环）