最大二分匹配

Posted 2020-12-12 duanshuai

一. 预备知识

1. 匹配：图G=(V,E)中没有公共端点的一组边M

• 匹配边：M中的边 ?
• 自由边：E/M中的边
• 被浸润的顶点：M中边的端点 ?
• 未被浸润的顶点：其他顶点

 完美匹配：浸润G的个顶点的匹配

 最大匹配：边的条数达到最大值的匹配

推论：完美匹配一定是最大匹配，反之未必

2. 顶点覆盖：图G=(V,E)中的一个顶点子集C，E中条边都至少有一个端点在C中

 最小顶点覆盖：G的顶点个数最少的覆盖

3. 推论：

图G的最小顶点覆盖C和最大匹配M满足|M| <= |C| , 在二分图G中,|M|=|C|

二.最大二分匹配问题

方法1：（最大流的算法）

• 问题转化

                        构建一个新的流网络G‘ 

1 . 

2.

3. 为每条边赋予单位容量

• 结论

（1）图G的每个匹配对应图G‘的一个流

（2）图G的一个最大二分匹配对应图G‘的最大流

（3）最大二分匹配的基数 == 最大流| f |

方法2：匈牙利算法

1. 概念定义：

（1）交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

（2）增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路

2. 核心思想

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条，因此，只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。

3. 算法过程

                    

三. 应用：

【任务安排问题】

【素数伴侣文通】