组合计数复习
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了组合计数复习相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
组合计数复习
联考里面出现了纯推式子题，这方面还需要加强...
有关组合数
二项式定理
[(x+y)^n=sum_{k=0}^ninom{n}{k}x^{n-k}y^k(x+1)^n=sum_{k=0}^ninom{n}{k}x^k
]
可以直接记，也可以考虑组合意义，每个位置可以选x和y，一共选k个x。
恒等式
[sum_{r=0}^n inom{n}{r}=2^n
]
这个很明显
[sum_{r=0}^k inom{n+r-1}{r}=inom{n+k}{k}
]
对角线求和，好像没啥用...组合意义是考虑在(n+k)的数集里选(k)个数的子集，左边考虑最大值是什么
组合意义
推式子推不出来就多想想组合意义吧
- (inom{n}{k})
n元素选k项
- (inom{n+k-1}{k-1})
允许重复选取，n元素选k项建立多重集：考虑用k-1个隔板分开n个1
上面的也是隔板法的式子，即(x_1+x_2+...+x_n=k)的非负整数解个数
顺便一提如果要求每份至少一个，方案数为(inom{n-1}{k-1})
- (sum_{k=0}^ninom{n}{k}^2=inom{2n}{n})
看不透
- (inom{a+b}{n}=sum_{i=0}^ninom{a}{i}inom{b}{n-i})
两堆数里选n个，枚举每堆选多少
关于斯特林数
第二类斯特林数
= LUB（n个有标号球放进k个无标号盒子，不能有空）
[left{egin{array}{l}
n k
end{array}
ight}=frac{1}{k !} sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}left(egin{array}{c}
k j
end{array}
ight) j^{n}
]
考虑容斥，枚举空盒个数，其他无限制
递推式
[left{egin{array}{c}
n+1 k
end{array}
ight}=kleft{egin{array}{c}
n k
end{array}
ight}+left{egin{array}{c}
n k-1
end{array}
ight}
]
[left{egin{array}{l}
0
end{array}
ight}=1 quad ext { and } quadleft{egin{array}{l}
n
end{array}
ight}=left{egin{array}{l}
0
end{array}
ight}=0
]
考虑当前球是否单独放一个盒子
打表快速判断：
1 3 1
1 7 6 1
1 15 25 10 1
数学直觉
Table 26.17 .1: The twelvefold way
注：这里的p_k(n)定义为至多划分为k个的划分数
以上是关于组合计数复习的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章