多项式全家桶（持续更新中）

Posted 2020-12-11 skiceanakacniu

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多项式乘法

FFT/NTT，详见别人的博客。由于有些复杂，作者懒得写了。而且写了也对作者没什么意义。

多项式求逆

对多项式(f(x)) 求多项式 (g(x)) 使得 (f(x)cdot g(x)equiv 1pmod {x^n})

这里的(pmod {x^n}) 的意义其实就是“(x) 的次数最低的 (n) 项”

做法

考虑使用倍增。设 (h(x)cdot f(x)equiv1pmod {x^{lceilfrac{x}{2} ceil}})。那么：

[ecause f(x)cdot g(x)equiv 1pmod {x^{lceilfrac{x}{2} ceil}}\\ herefore f(x)(h(x)-g(x))equiv 0pmod {x^{lceilfrac{x}{2} ceil}} ]

观察 (f(x)(h(x)-g(x))) 的常数项，由于 (f(x)) 的常数项不为 0，所以 (h(x)-g(x)) 的常数项必然为 0（根据 (f(x)(h(x)-g(x)))的后 (n) 项均为 0 可知）. 再观察 (f(x)(h(x)-g(x))) 的一次项，一次项是 (f(x)) 的常数项 * (h(x)-g(x)) 的一次项 + (h(x)-g(x)) 的常数项 * (f(x)) 的一次项。所以必然 (h(x)-g(x)) 的一次项也为 0.以此类推，(h(x)-g(x)equiv 0pmod {x^{lceil frac{n}{2} ceil}}) 。

考虑到这是在 (pmod x^{lceil frac{n}{2} ceil}) 意义下的，那么平方就可以转化到 (pmod {x^n}) 意义下的。于是有 ((h(x)-g(x))^2equiv 0pmod {x^{ n}})。展开可以得到 (h(x)^2-2h(x)g(x)+g(x)^2equiv 0pmod {x^n}) 。

发现这是一个关于 (g(x)) 的二次式，但是却不能使用求根公式求它，那样还得套上一个多项式开根。。所以考虑利用 (f(x)cdot g(x)equiv 1pmod {x^n}) ，将等式两边同时乘以 (f(x))，这样可以将 (g(x)) 降次得到 (g(x)) 的最终表达式 (g(x)=2h(x)-f(x)h(x)^2)。

推这个的过程中用到了很多多项式变换的小技巧...