为什么等高线中梯度方向与切线方向垂直？

Posted 2020-12-11 luckbelongstostrugglingman

首先，假设3维曲面函数表示成 z = f(x, y)， 那么等高面可以表示为在 z = c时的切平面。将该切平面向xoy平面的投影，投影的轮廓便是等高线：

 

直观表示为,每一条虚线都表示一个等高线

 

在上图中，(a)路径的x0位置处的切线斜率表示为dy/dx，与切线斜率垂直的法线斜率表示为:

 

因为 f(x, y) = c是隐函数，即y是x的函数，等号两边对x求导表示为：

f‘_x * dx + f‘_y * dy/dx * dx = 0,所以 dy/dx = - f‘_x / f‘_y

又，函数f(x,y)=c的梯度表示成 f_x * i + f_y * j，方向为 f_y / f_x 所以看出，梯度方向与切线垂直方向是相同的。

注意：梯度指向函数值增大最快的方向，所以梯度的反方向指向函数值减小最快的方向

参考：https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/85275016

https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/11715033.html