O求解自然数异或和

Posted 2020-12-11 -singercoder

序

又是一个不眠之夜。

求：

[f_i=1 igoplus 2 igoplus 3 igoplus...igoplus (i-1) igoplus i ]

(O(logn))算法

考虑按位分析

对于(f_i)的第(j)位，它的值只与该位1出现次数有关。

而第(j)位1的出现又是呈周期性分布的。

我们考虑(f_i=0 igoplus 1 igoplus 2 igoplus 3 igoplus...igoplus (i-1) igoplus i)。

注意这里多加了一个0。

那么，在上式的各数中，第1位的变化为01010101

而第2位为00110011

第3位为00001111

以此类推。

周期分析

所以我们可以发现，第(j)位的值的出现是连续的，且每连续一组的相同值的个数为(2^{j-1})，这恰好是第(j)位的位权！

而对于数字的总个数，我们可以用(x=i+1)来表示。

分析第(j)位的值((j ge 2))：

则第(j)位的出现的整组共有(t=lfloor{{x}over{2^{j-1}}} floor)个，其中奇数组为0，偶数组为1，且其中出现数字1的总个数必定为偶数。

若(t)为奇数，说明剩余的不完整组的值为1，同时若(x)也为奇数，说明(f_i)的第(j)位为1；否则(f_i)的第(j)位为0。

由此，我们可以得到第(j)位的值((j ge 2))。

对于第1位，它出现的组共有(x)个，其中值为1的有(lfloor{{x}over{2}} floor)个，故(f_i)的第1位等于(x)的第2位。

综上可以在(O(logn))时间复杂度内求解。

(O(1))算法

其实就是对(O(logn))的算法作了一个小的总结。

分析第(j)位的值((j ge 2))：

我们知道，当且仅当(t = lfloor{{x}over{2^{j-1}}} floor)为奇数，同时(x)也为奇数时，第(j)位才为1；否则第(j)位为0。

体现在(x)这个数本身上，就是当(x)第1位为1时，(f_i)的第2位及以上与(x)的相同。

而当(x)第1位为0时，(f_i)的第2位及以上都为0。

然后第1位的特判很好处理，就是(f_i)的第1位等于(x)的第2位。

由此可以在(O(1))时间复杂度内求解。

upd:代码实现

闲来无事写个代码（因为太菜所以不会更简单的写法）

int xorsum(int x)
{
	++x;
	return ( (x&1) ? (x&(INT_MAX-1)) : 0 ) | ( (x&2) ? 1 : 0 );
}