Computer Graphics note:变换

Posted 2020-12-11 flyerbird

目录

• Computer Graphics note(1):变换
  • 2D变换
    • 1.Scale(缩放)
    • 2.Shear(切变)
    • 3.Rotate(旋转)
      • 旋转矩阵的性质
    • 4.Translation(平移) & 齐次坐标
  • 仿射变换(affline transformations)
    • 变换矩阵的结构性质
    • 齐次坐标下的变换矩阵
      • Scale:
      • Rotation:
      • Translation:
  • 其他变换
    • 1.Inverse Transform(逆变换)
    • 2.Composite transform(复合变换)
      • 结论
    • 3.Decomposite transform(变换分解)
  • 3D变换
    • 前提(右手系)
    • 齐次坐标表示
    • 变换矩阵的结构性质
    • 齐次坐标下的变换矩阵
      • Scale:
      • Translation:
      • Rotation

Computer Graphics note(1):变换

Games101清新脱俗，可惜没赶上直播。
官网：http://games-cn.org/intro-graphics/
结合食用：Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) or (2nd Edition)

2D变换

对于能写成(X^{‘}=MX)形式的变换，称为线性变换(Linear Transforms)，其中(M)为变换矩阵。

1.Scale(缩放)

基本的缩放就是沿着坐标轴进行的缩放，而对于xy轴任意比例缩放(s_x,s_y)而言，其数学形式如下：

[egin{cases} x‘=s_x*x y‘=s_y*y end{cases} ]

转换为矩阵形式(((x,y)^T)左边的矩阵为变换矩阵)如下：

[egin{bmatrix} x‘ y‘ end{bmatrix} =egin{bmatrix} s_x & 0 & s_y end{bmatrix} egin{bmatrix} x y end{bmatrix} ]

例如下图为沿着xy轴都缩放0.5：

水平镜像也属于缩放操作，即(s_x=-1,s_y=1),其矩阵表示如下：

[egin{bmatrix} x‘ y‘ end{bmatrix}= egin{bmatrix} -1 & 0 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x y end{bmatrix} ]

2.Shear(切变)

切变只变化一边，如下图所示：

可见，上面是变化了x轴，其矩阵形式如下：

[egin{bmatrix} x‘ y‘ end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & a & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x y end{bmatrix} ]

同理，对于变化y轴，其矩阵形式如下：

[egin{bmatrix} x‘ y‘ end{bmatrix}= egin{bmatrix} 1 & 0 a & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x y end{bmatrix} ]

3.Rotate(旋转)

对于旋转而言，前提是默认绕原点旋转，方向为逆时针。(x)轴转转向(y)轴。
对于一个向量(a),其与(x)轴夹角为(α)假设要将其旋转角度(φ)得到向量(b),如下图所示(图来源:Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation)：

其旋转矩阵如下：

[R(φ) egin{bmatrix} cosφ & -sinφ sinφ & cosφ end{bmatrix} ]

推导过程1如下（来自Fundamentals of Computer Graphics (3rd Edition) 6.1.3Rotation）：
假设向量(a)的长度为(r),则有

[egin{cases} x_a=rcosα y_a=rsinα end{cases} ]

而(b)是(a)旋转得到的，所以长度相同，而其旋转角度为((α+φ)),则有

[egin{cases} x_b=rcos(α+φ)=rcosαcosφ - rsinαsinφ y_b=rsin(α+φ)=rsinαcosφ + rcosαsinφ end{cases} ]

将上面的式子带入下面的式子可以得到如下结果：

[egin{cases} x_b=x_acosφ - y_asinφ y_b=y_acosφ + x_asinφ end{cases} ]

所以最终的旋转矩阵如下：

[R(φ) egin{bmatrix} cosφ & -sinφ sinφ & cosφ end{bmatrix} ]

推导过程2(课程提及，辅助理解记忆)如下

考虑旋转矩阵对于任意点都适用，所以考虑几个特殊点的转换：((1,0)->(cosθ,sinθ)，(0,1)->(cosθ,-sinθ))。所以有下列关系:

[egin{cases} egin{bmatrix} cosθ sinθ end{bmatrix} =egin{bmatrix} A & BC & D end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -sinθ cosθ end{bmatrix} =egin{bmatrix} A & BC & D end{bmatrix} egin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix} end{cases} ]

从中可以得到如下结果,即为所求:

[egin{cases} A = cosθ C = sinθ B = -sinθ D = cosθ \end{cases} ]

旋转矩阵的性质

考虑旋转(R(-φ)),会发现等于(R_φ^T),如下所示:

[R(-φ) egin{bmatrix} cosφ & -sinφ sinφ & cosφ end{bmatrix} =R_φ^T ]

而从定义上看，(R(-φ))=(R_φ^{-1})，所以可以得到(R_φ^{-1})=(R_φ^T)，即旋转矩阵的逆等于其转置矩阵，也就是说旋转矩阵为正交矩阵(数学意义)。

4.Translation(平移) & 齐次坐标

对于平移而言，即使考虑只有平移的情况，我们也只能写成如下形式：
对于平移:

[egin{cases} x‘= x + t_x y‘= y + t_y end{cases} ]

其矩阵形式如下：

[egin{bmatrix} x‘ y‘ end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x y end{bmatrix}+ egin{bmatrix} t_x _y end{bmatrix} ]

为了让平移和上面的线性转换统一，引入齐次坐标。对于2D变换，增加一个维度(w)，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：

[point=(x,y,1)^T vector=(x,y,0)^T ]

即对于齐次坐标而言，((x,y,w)^T(w!=0))表示的点即为((frac{x}{w},frac{y}{w},1)^T)。
则对于平移而言，其矩阵形式表示变为：

[egin{bmatrix} x‘y‘ w‘ end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0 & t_x & 1 & t_y & 0 & 1 \end{bmatrix} egin{bmatrix} x y 1 end{bmatrix} =egin{bmatrix} x+t_x y+t_y 1 end{bmatrix} ]

这样一来形式就得到统一，并且使用齐次坐标还能保证以下操作的正确性：

[vector +vector=vector; point - point =vector;point +vector =point;\]

而对于(point+point)原本是无意义的，但是在齐次坐标下也能引申出其他意义，即两点相加为其中点，推导过程如下：

[egin{pmatrix}x_1 \ y_1 \ 1end{pmatrix} +egin{pmatrix}x_2 \y_2\1 end{pmatrix} =egin{pmatrix} x_1+x_2 \y_1+y_2 \ 2 end{pmatrix} =egin{pmatrix}frac{x_1+x_2}{2} \ frac{y_1+y_2}{2} \ 1 end{pmatrix} ]

仿射变换(affline transformations)

仿射变换 = 线性变换 +平移，即为

[egin{bmatrix}x‘ \y‘end{bmatrix} = egin{bmatrix}a&b \c&dend{bmatrix} egin{bmatrix}x \yend{bmatrix} + egin{bmatrix}t_x \t_yend{bmatrix} ]

使用齐次坐标表示如下：

[egin{bmatrix}x‘ \y‘ \ 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}a&b& t_x c&d& t_y \ 0& 0& 1end{bmatrix} egin{bmatrix}x \y \1end{bmatrix} ]

上面两者是等价的，所以仿射变换是先进行线性变换然后再进行的平移。

变换矩阵的结构性质

值得一提的是，当表示的是2D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：

1. 最后一行为(0 0 1)
2. 最后一列的头两个数(t_x,t_y)必然表示平移
3. 左上角四个数(egin{pmatrix}a&b \ c & dend{pmatrix})表示线性变换

齐次坐标下的变换矩阵

Scale:

[S(S_x,S_y)= egin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & s_y & 0 &0&1 end{bmatrix} ]

Rotation:

[R(φ)= egin{bmatrix} cosφ & -sinφ & 0sinφ & cosφ & 0 & 0& 1 end{bmatrix} ]

Translation:

[T(t_x,t_y)= egin{bmatrix} 1 & 0 & t_x & 1 & t_y & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

其他变换

1.Inverse Transform(逆变换)

逆变换即为原变换的相反操作，逆变换对应的变换矩阵即在数学意义上的逆矩阵，如下图中(M^{-1})即为逆变换对应的变换矩阵，且逆矩阵有个基本性质,即(MM^{-1}=I),其中(I)为单位矩阵。

2.Composite transform(复合变换)

以下图为例子，假如想要从左边变换到右边的话，可以考虑的方式有先旋转再平移，或者先平移再旋转。

两种方式结果如下：

很明显，需要先旋转再平移，上面的变换过程用矩阵表示如下：

[T_{1,0}·R_{45} egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix} =egin{bmatrix} 1 & 0& 1 &1&0 &0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} cos45 & -sin45 & 0 sin45 & cos45 & 0 & 0& 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x \y\1 end{bmatrix} ]

结论

1. 以变换的顺序很重要，顺序不同结果也就不同。
2. .变换矩阵应用的顺序是从右到左的。

上述结论可以推广，即当有(N)个变换矩阵(A_1~A_n)应用时，也是从右到左进行应用，同时因为矩阵满足结合律，所以我们可以先将前面的所有变换矩阵相乘((A_r=A_n···A_2A_1))，然后再应用，结果是不变的。如下：

[A_n···A_2A_1egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix} = A_regin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix} ]

值得一提的是由于矩阵都是(3X3),所以即使前面的相乘，得到的矩阵(A_r)仍然是(3X3),也就是说一个矩阵也可以表示极为复杂的变换。

同时考虑仿射变换的性质，上面先旋转再平移也可以写成如下形式,结果不变:

[T_{1,0}·R_{45} egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix} =egin{bmatrix} cos45 & -sin45 & 1 sin45 & cos45 & 0 & 0& 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} x \y\1 end{bmatrix} ]

3.Decomposite transform(变换分解)

变换的分解有多种多样，有时候不能一次性写出旋转矩阵，就可以将其分解，逐步应用变换矩阵来达到同样的效果。

例如考虑绕任意点(c)进行旋转，可以先将旋转中心移动到原点进行旋转之后再将旋转中心移动到(c)点。如下图所示:

其矩阵表示如下,应用过程从右到左：
(T(c)·R(α)·T(-c))

3D变换

前提(右手系)

以下变换考虑的都是右手系(参考右手螺旋定则，四指弯曲方向为(x)旋转到(y)方向，大拇指方向为(z)方向)。

齐次坐标表示

类比2D中引入齐次坐标的原因,3D中的平移也不能直接写成，所以对于3D变换，增加一个维度(w)，此时规定点和向量的齐次坐标表示如下：

[point=(x,y,z,1)^T vector=(x,y,z,0)^T ]

同样的有对于齐次坐标而言，((x,y,z,w)^T(w!=0))表示的点即为((frac{x}{w},frac{y}{w},frac{z}{w},1)^T)。

矩阵描述3D中的仿射变换如下：

[egin{bmatrix}x‘ \y‘ \ z‘\1end{bmatrix} = egin{bmatrix}a&b&c& t_x d&e&f& t_y g&h&i& t_z & 0& 0&1end{bmatrix} egin{bmatrix}x \y \z\1end{bmatrix} ]

变换矩阵的结构性质

和2D中一样，当表示的是3D仿射变换的时候，上面的变换矩阵才有如下性质：

1. 最后一行为(0 0 01)
2. 最后一列的头两个数(t_x,t_y，t_z)必然表示平移
3. 左上角9个数(egin{pmatrix}a&b&c \ d&e&f \ g&h&i end{pmatrix})表示线性变换

齐次坐标下的变换矩阵

3D下和2D下的缩放和平移类似，但是旋转有些不同，

Scale:

[S(S_x,S_y)= egin{bmatrix} s_x & 0 & 0 &0 & s_y & 0 &0&0&s_z&0&0&0&1 end{bmatrix} ]

Translation:

[T(t_x,t_y)= egin{bmatrix} 1 & 0 & 0&t_x & 1 &0& t_y &0&1&t_z & 0 & 0&1 \end{bmatrix} ]

Rotation

先考虑只绕一轴进行旋转的情况(绕谁谁不变)，如下:

[R_x(α)=egin{bmatrix} 1 & 0 & 0&&cosα & -sinα & 0&sinα & cosα & 0&0&0&1 end{bmatrix}R_y(α)=egin{bmatrix} cosα & 0&sinα & 0&1&0&0-sinα &0& cosα & 0&0&0&1 end{bmatrix}R_z(α)=egin{bmatrix} cosα & -sinα & 0&0sinα & cosα & 0&0&0&1&0&0&0&1 end{bmatrix}\]

这里绕着(y)轴有所不同，这是因为我们使用的右手系，旋转方向默认逆时针的情况下，绕(y)轴，是(z)转向(x)方向，而矩阵定义的旋转顺序为(xyz),即为(x)->(y),(y)->(z),(x)->(z)。

接下来简单总结一下一般情况绕任意轴下的3D旋转。

普通的3D旋转可以将其分解到绕(xyz)旋转，然后推导其公式((Rodrigues‘ Rotation Formula))如下,其中(pmb{n})为旋转轴，(α)为旋转角，(I)为单位矩阵，这里默认沿着(pmb{n})旋转时，该轴是过原点的：

[R(pmb{n},α)=cos(α)pmb{I}+(1-cos(α))pmb{n}pmb{n}^T+sin(α) egin{pmatrix}0 &-n_z&n_y _z&0&-n_z-n_y&n_x&0end{pmatrix} ]

最右边的是向量叉积的矩阵形式。推导略。