树的直径

Posted 2020-12-11 jason66661010

定义

我们将一棵树T = ( V，E )的直径定义为maxδ ( u，v ) ( u，v ∈ V )，也就是说，树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。

寻找方法

两次bfs

方法：先从任意一点P出发，找离它最远的点Q，再从点Q出发，找离它最远的点W，W到Q的距离就是是的直径

证明如下：

①若P已经在直径上，根据树的直径的定义可知Q也在直径上且为直径的一个端点

②若P不在直径上，我们用反证法，假设此时WQ不是直径，AB是直径

--->若AB与PQ有交点C，由于P到Q最远，那么PC+CQ>PC+CA，所以CQ>CA，易得CQ+CB>CA+CB，即CQ+CB>AB，与AB是直径矛盾，不成立，如下图（其中AB，PQ不一定是直线，画成直线是为了方便）：

 

 --->若AB与PQ没有交点，M为AB上任意一点，N为PQ上任意一点。首先还是NP+NQ>NQ+MN+MB，同时减掉NQ，得NP>MN+MB，易知NP+MN>MB，所以NP+MN+MA>MB+MA，即NP+MN+MA>AB，与AB是直径矛盾，所以这种情况也不成立，如下图：

 

 树状DP

对于每个节点我们要记录两个值：

f1 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的最大值

f2 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的次大值

对于一个节点，它到叶子结点距离的最大值和次大致所经过的路径肯定是不一样的

若j是i的儿子，那么（下面的 w [ i ][ j ] 表示 i 到 j 的路径长度）：

若 f1 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ i ]，f1 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；否则，若 f2 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]； 

最后的答案 answer = max { f1 [ i ] + f2 [ i ] }

 

习题

https://www.luogu.com.cn/problem/P5536

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n, k,cnt=0,mdeep=-1,mi;
#define maxn 100010
struct edge
{
    int to;
    int next;
}e[maxn *2];
int father[maxn],head[maxn],deep[maxn],maxdeep[maxn],dis[maxn];
bool cmp(int a, int b)
{
    return a > b;
}
void addedge(int u,int v)
{
    cnt++;
    e[cnt].to = v;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
}
void dfs1(int s,int fa)
{
    if (deep[s] > mdeep)
    {
        mdeep = deep[s];
        mi = s;
    }

    for (int i = head[s]; i; i = e[i].next)
    {
        int y = e[i].to;
        if (y == fa)continue;
        deep[y] = deep[s] + 1;
        dfs1(y, s);
    }
}

void dfs2(int s, int fa)
{
    if (deep[s] > mdeep)
    {
        mdeep = deep[s];
        mi = s;
    }

    for (int i = head[s]; i; i = e[i].next)
    {
        int y = e[i].to;
        if (y == fa)continue;
        father[y] = s;//记录路径
        deep[y] = deep[s] + 1;
        dfs2(y, s);
    }
}
void dfsk(int s, int fa)
{
    maxdeep[s] = deep[s];
    for (int i = head[s]; i; i = e[i].next)
    {
        int y = e[i].to;
        if (y == fa)continue;
        deep[y] = deep[s] + 1;
        dfsk(y, s);
        maxdeep[s] = max(maxdeep[s], maxdeep[y]);//自己的子节点能到达的最深深度，自己也一定能去
        
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <=n - 1; i++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        addedge(a, b);
        addedge(b, a);
    }
    dfs1(1, 0);
    memset(deep, 0, sizeof(deep));
    mdeep = -1;
    dfs2(mi, 0);
    int temp = mi;//mi：直径末端上的点
    for (int i = 1; i <= (deep[mi]+1) / 2; i++)temp = father[temp];//之前的记录路径就是为了这里服务的，从直径的末端走该直径长度的一半就是直径的中点
    memset(deep, 0, sizeof(deep));
    dfsk(temp, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        dis[i] = maxdeep[i] - deep[i];
    sort(dis + 1, dis + n + 1, cmp);
    int ans = 0;
    for (int i = k + 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, dis[i] + 1);
    printf("%d
", ans);
}

参考：https://blog.csdn.net/forever_dreams/article/details/81051578