组合数问题

Posted 2020-12-11 cszmc2004

考场上忘了怎么拆c(a,b)*c(c,a)......

后来随便想就想出来了...
先列出答案式子：
$sum_{i=0}^{n}C_n^if(i)x^i$
f拆开
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]i^j$
斯特林数拆后面
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}s(j,k)frac{i!}{(i-k)!}$
上下乘k
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)frac{i!}{(i-k)!k!}$
变成组合数
$sum_{i=0}^{n}C_n^ix^isum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_i^k$
交换和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)sum_{i=0}^{n}C_i^kC_n^ix^i$
考场上卡在这一步。。。
有一个公式：
$C_a^b*C_c^a=C_c^bC_{c-b}^{a-b}$
用公式化简最后的组合数：
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)sum_{i=0}^{n}C_n^kC_{n-k}^{i-k}x^i$
再次变换和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^ksum_{i=0}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^i$
调整下界
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^ksum_{i=k}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^i$
调整后面的和式
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=j}^{m}k!s(j,k)C_n^kx^ksum_{i=k}^{n}C_{n-k}^{i-k}x^{i-k}$
二项式展开公式：
$(x+1)^k=sum_{i=0}^{k}x^kC_k^i$
后面的和式上下界同时减去k
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=0}^{j}k!s(j,k)C_n^kx^ksum_{i=0}^{n-k}C_{n-k}^{i}x^{i}$
二项式展开
$sum_{j=0}^{m}a[j]sum_{k=0}^{j}k!s(j,k)C_n^k(x+1)^k$
问题转变求$C_{n}^{0...m}$m+1个组合数的值
如果暴力求c时间复杂度很高。
但是发现相邻两个组合数$C_{n}^{i}$和$C_{n}^{i+1}$的公式只差了两个数。分解质因数后用线段树维护即可。

质因数可能较大，使用map编号。