有关闭包概念的相关内容

Posted 2020-12-11 dictat

闭包

我们来介绍闭包及其相关的概念

闭包的定义

下面所提及的闭包是对(H)（在(T)中)而言的

定义一

the closure of (H) (in (T)) is defined as:

[H^-:=H cup H‘ ]

where (H‘) is the derived set(导集) of (H)

这个定义估计是在度量空间里定义闭包所用的最常见的定义了.

定义二

the closure of (H) (in (T)) is defined as:

[displaystyle H^- := igcap left{{K supseteq H: K} ight. mbox{is closed in }T} ]

即,包含(H)的所有闭集的交

定义三

is defined as the smallest closed set of (T) that contains (H).

即,在(T)中包含(H)的最小闭集.

定义四

[H^- := H cup partial H ]

本身和其边界的并

经同学的提醒知道了是数分书上的定义.

定义五

是(H)所有聚点和孤立点的并

[H^- := H^i cup H‘ ]

定义六

(H)所有凝聚点所构成的集合,这里暂且将其称之为凝聚点,其英文为 adherent point.

这里所说的凝聚点的定义和聚点的区别在于:不用挖去其自己本身.

在这里我们在数分书上所定义的聚点英文为:limit point

相互推导

1 (Leftrightarrow) 2

(Rightarrow)

设 (K) 是任意一个包含 (H) 的闭集

由定义一,我们我们可以得到以下两点

• 子集的闭包属于包含它集合的闭包
• 闭集的闭包等于它自己本身,即 (K^- = K)

所以有 (H^- subseteq K^- = K)

由于(K) 是任意的,根据并集的定义,因为(H^-)对任何一个(K)都满足上面的关系,所以有:

(H^- subseteq igcap K)

(Leftarrow)

我们很容易便能知道, (H^-) 也是包含 (H)的闭集,

(forall x in igcap K Rightarrow x in H^-)

所以有(H^- supseteq igcap K)

(Box)

2 (Leftrightarrow) 3

(Rightarrow)显然的

如果 (H^-) 是最小闭集,那么(H^- subseteq igcap K)

(Leftarrow)

和上一题类似的证明方法.

1 (Leftrightarrow) 4

我们首先要了解一下边界的定义

$partial H = H^- ackslash H^ circ $

(partial H = H^- cap (H^c)^-)

从下面的这个定义我们可以看出,边界中的任意一点的任意邻域中都既有 (H) 中的点,也有 (H) 外的点,这正是我们最初的定义.

只要意识到 ((H^ circ)^c = (H^c)^-),即能够构建这两个定义的等价.在此我不加赘述,详细的证明在尤承业所著的书中.

可以看出边界和内部(interior)与闭包(closure)这两个概念有关,不妨在介绍内部的时候再来证明两者之间的等价关系.

1 (Leftrightarrow) 5

(Rightarrow)显然的

(Leftarrow)

(S) 为全集,若$ S ackslash (H^i cup H‘) = varnothing$$Rightarrow$$S =H^i cup H‘ supseteq H cup H‘$,已然得证.

若(M = S ackslash (H^i cup H‘) eq varnothing),根据德·摩根定律有，$ M = (S ackslash H^i) cap (S ackslash H‘) eq varnothing$

(forall x in M, x) 不是孤立点,所以 (forall U(x) cap H eq {x}),

又因为 (x) 不是聚点,所以 (exists U(x) ,s.t. Hcap (U(x) ackslash { x}) = varnothing)

根据上个条件,可以等价于(U cap H = varnothing) (Rightarrow x otin H^- = H‘ cup H)

则 $ forall x otin (H^i cup H‘) Rightarrow x otin = H‘ cup H$

参考逆否命题则得证(Box)

1 (Leftrightarrow) 6

(Rightarrow)

容易得到的,用导集的定义和凝聚点的定义.

(Leftarrow)

根据是否属于H,分两类讨论即可.