经典DP问题之最长上升子序列和最长公共子序列

Posted 2020-12-11 mgd666

经典DP问题之最长上升子序列和最长公共子序列

在DP问题中，最长上升子序列（LIS）和最长公共子序列（LCS）无疑是最经典的入门题目，充分体现了DP的思想。

最长上升子序列（LIS）

• 题目描述

给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

• 示例

input：

7

3 1 2 1 8 5 6

output：

4

（答案是：1 2 5 6）

首先解释一下什么叫做子序列，可以理解为在这个数列中从前往后挑数字组成数组，可以连着挑，可以跳着挑。

• 思路

这个题目是典型的DP问题，首先我们先确定状态表示，集合f[i]表示的是以第i个数为结尾的上升子序列，属性是求Max。所以我们的f[i]表示的是：以第i个数字为结尾的上升子序列的长度的最大值。接下来考虑状态计算，我们先对集合进行划分，这一题的划分方式基本都是一个套路，就是以分割以前i-1个数字为结尾的上升子序列的长度的最大值的集合，比如说，以第1个数为结尾，第二个数为结尾。。。。。。，第i-1个数为结尾，集合中的每一个元素都+1，代表以第i个数字为结尾的上升子序列的长度的最大值。求出这个集合中的max即为答案。在这个集合中，有的数据是大于a[i]的，此时我们不更新它即可。

• 代码

//数据范围 1≤N≤1000
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int a[N];

int main() {
    int n = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1;i <= n; i++) {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1;j < i; j++) {
            if (a[j] < a[i]) {
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i++) res = max(res,f[i]);
    cout << res;
    return 0;
}

最长公共子序列（LCS）

• 题目描述

给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列，又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

• 示例

input：

A：a c b d

B：a b e d c

output：

3

(a b d)

• 思路

这也是个典型的DP问题，但是思路比LIS更难想。首先我们确定状态表示，集合f[i,j]表示所有由A字符串的前i个字母和B字符串的前j个字母构成的公共子序列的合集，属性是求Max，所以f[i,j]代表所有由A字符串的前i个字母和B字符串的前j个字母构成的公共子序列的长度的最大值。接下来考虑状态计算，这种类型的题目集合划分的思路更难想到，记住就好了。我们将集合f[i,j]先划分成四个区域，分别是第一种情况，不选A字符串第i个字母，不选B字符串第j个字母，第二种情况，不选择A字符串第i个字母，选择B字符串的第j个字母，第三种情况，选择A字符串的第i个字母，不选择B字符串的第j个字母，第四种情况，选择A字符串的第i个字母，选择B字符串的第j个字母。下面我们来逐一分析

• 第四种情况

两个字母都选的话，是需要特判的，两个字母相同时才考虑这种情况

• 第二，第三种情况

f[i-1,j]和f[i,j-1]两种情况，我们需要明白f[i,j]代表的是所有由A字符串的前i个字母和B字符串的前j个字母构成的公共子序列的合集，这个合集中包含了许多情况，有些字母并不符合要求也不更新，但是它一定包含a[i]出现，b[i]也出现的情况，所以第一种情况包含在了第二，三种情况中。这代表着四种情况会有重合的，但是我们的属性是求max，所以效果都是一样的。

• 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
char a[N],b[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    
    for (int i = 1;i <= n; i++) {
        for (int j = 1;j <= m; j++) {
            f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-1] + 1);
        }
    }
    
    cout <<f[n][m];
    return 0;
}

总结

DP问题就按照考虑状态表示和状态计算的套路来做，想好状态转移方程。DP类型的题目没有一个固定的模版，还是要多积累，多总结，根据DP问题的性质来思考状态转移方程。