二分查找详解

Posted 2020-12-11 beeblog72

看到一个大佬的博客详解二分查找算法，有一段内容让我深有感触：

我周围的人几乎都认为二分查找很简单，但事实真的如此吗？二分查找真的很简单吗？并不简单。看看 Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）怎么说的：

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky...

这句话可以这样理解：思路很简单，细节是魔鬼。

这两个月刷题遇到不少要用到二分查找的题。当年学数据结构的时候觉得这是一个相当直观且好理解的算法，但是真正刷题时觉得这个算法需要注意的坑还是挺多的。最普通的应用就是找某个元素的索引（数组有序且不重复），再复杂一些的还有找某个元素最左边或最右边的索引。更高端的有对数组的索引或者数组中整数的取值范围进行二分查找，不过这一块还是万变不离其宗，查找的范围依旧是[left, right]，难点在于要怎么找到二分查找的对象。

二分查找基本框架

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    left, right = 0, ...  # 左右边界的赋值可变
    while left ... right:  # 需要注意有没有等号
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            ...  # 要不要直接return
        elif arr[mid] < target:
            left = ...  # 要不要加一
        elif arr[mid] > target:
            right = ...  # 要不要减一
    return ...  # 有返回mid的，有left的各种

上面一段代码中的...部分是需要根据题目需要修改的地方，也就是二分查找的细节所在。另外，计算mid的公式也可以写成mid = (left + right) // 2，按上面那样写是为了防止溢出（虽然在Python里并不会有整型溢出的问题，不过最好养成这个习惯）。

找一个数的索引

这是二分查找最简单的一种应用，只要学习过数据结构肯定闭着眼睛都能写出来。

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    left, right = 0, n - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            right = mid - 1
    return -1  # 没有找到，返回 -1

这里有几个地方需要注意。

左右指针的赋值

左右指针的初始化决定了搜索区间是开区间还是闭区间

左右指针初始化为left, right = 0, n - 1，也就是说搜索区间是一个闭区间，即[0, n - 1]。而当mid处的值不是目标值时，就要把mid从搜索区间中去除，继续在两边的某个闭区间中搜索。因此，左右指针的更新规则为left = mid + 1和right = mid - 1。

终止条件

搜索区间为空时就应该跳出循环

上面的代码中，while循环的条件是left <= right，也就是说当left == right + 1时跳出while循环。实际上，这个终止条件与前面说的闭区间相对应，当left == right时，闭区间内仍有一个索引的位置需要搜索；当left == right + 1时，[right + 1, right]已经是一个空集，意味着已经没有索引需要搜索了，因此就跳出循环。

开区间

爷就是喜欢开区间，那咋办嘛

开区间情况下，左右指针应初始化为left, right = 0, n，对应的搜索区间是一个开区间，即[0, n)。

• 当arr[mid] < target时，同样地，要把mid从搜索区间中去除，注意此时是开区间。于是left = mid + 1，对应的搜索区间为[mid + 1, right);
• 当arr[mid] > target时，right = mid， 对应的搜索区间为[left, mid)。

此时，while循环的条件应为left < right，也就是说当left == right时跳出while循环。对应的搜索区间为[left, left)，显然这个区间为空，即搜索完毕。完整代码如下。

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    left, right = 0, n
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            right = mid
    return -1  # 没有找到，返回 -1

局限性

这个版本的二分查找至少还有两个需求无法满足：

• 如果target在数组中多次出现，我们想要找到它的左边界（即最早出现时的索引）或者右边界要怎么改呢？
• 如果target在数组中不出现，我们想要找到它插入到该数组中应该在的位置要怎么改呢？

寻找左侧边界

基于开区间版本，修改几个位置即可。

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    if n == 0:  # 特判
    	return -1
    left, right = 0, n
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            right = mid  # 修改
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            right = mid
    return left  # 修改

代码还可以进一步简化，但是本文主要是为了弄清原理，这么写看起来更直观一些。基于这三处修改，我们来看看为什么这个版本可以返回左侧边界。

为什么需要特判

实际上也不是所有情况都需要特判，因为很多时候我们不会在空数组中搜索，那不是吃饱了撑的吗。主要是为了和返回的索引区分开来，避免返回值与空数组的情况发生混淆，具体往下看就明白了。

返回值的意义

这个版本的代码除了当target在数组中多次出现时返回它的左侧边界，它的返回值还有一个含义就是当前数组中比target小的元素个数。因此返回值的范围是[0, n]，如果没有特判，数组为空时也返回0，会发生混淆。

为什么可以找到左边界

关键在于这段代码：

if arr[mid] == target:
    right = mid

当找到target时，不返回索引，而是继续向左搜索，即在[left, mid)中搜索。

那么问题来了，如果此时mid已经是左边界了，继续在[left, mid)中搜索不会出错吗？事实上，每次左指针的更新规则为left = mid + 1且while循环的条件是left < right。也就是说最终仍然会搜索到[left, mid)，此时left == mid。

寻找右侧边界

基于上面的代码，修改一下就行。

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    if n == 0:  # 特判
    	return -1
    left, right = 0, n
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            left = mid + 1  # 修改
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            right = mid
    return left - 1  # 修改

为什么要返回left - 1

注意到，当找到target时，不返回索引，而是继续向右搜索，left = mid + 1。因此，while循环结束时的左指针一定指向target右边的第一个元素。因此要返回left - 1。

寻找插入位置

上面提到，寻找左侧边界版本的返回值同样代表了数组中比target小的元素个数，索引不就来了吗？

def binarySearch(arr: List[int], target: int):
    n = len(arr)
    left, right = 0, n
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            right = mid  # 修改
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            right = mid
    return left  # 修改

需要注意的是，这里不需要特判，数组为空时直接往里放就完事了。