形式语言与自动机六 DFA的最小化

Posted 2020-12-11 fennleo

DFA的最小化

前面我们讲过NFA通过确定化能够得到DFA，现在我们看能不能让已经得到的DFA的状态数能不能再继续变小(minimise).其实也就是对优化再优化。

我们从NFA得到DFA的过程中有使用子集构造法。但是子集构造法的的状态数还是过多，达(2^n) 个。现在我们的目的就是进一步减少状态数。这样算法的复杂度才能减少。

这个已经是最优化后的。现在我们问三个状态可不可以？？？

答案是不可以。最少4个。通过举例分析可以得到

DFA转化到最小DFA

引入概念：可分辨状态——两个状态读入同一个串，到的两个不同的状态(比如一个拒绝状态，一个可分辨状态)，这样就好可以区分开

最小的DFA = 每个状态都是可区分状态

(C_4^2=6) 6中比较完，就可以区别是可分辨的，既然全部可分辨，那么就是最小DFA

了解到 可区别状态和不可区别状态后，把不可区别状态对 合并之后就得到等价的最小DFA

这两个DFA仍然是等价的

不可区分状态的状态对是等价状态

核心是找不可区别状态，将不可区别的状态对合并即可

上面这个可以写成程序。规则1作为递归程序基础，规则2不断递归，规则3做最后扫底。

过程实例：方法叫做填表法

刚开始最底层第一行类似于我们规则1，是以后递归的基础

检查从左上角检查整张表一直到最底层

检查完第一遍再检查第二遍，如果发现检查完的结果和第一遍一样，那么就是用规则3扫底；如果发现第二遍发现有所收获、有所改变。那么再检查第三遍

开始合并不可区分状态对的状态

画出最小化后的DFA

要是有题目给出疑似一个最小化，但我们仍然需要判定。就判断是否所有状态是可分辨的即可(反正状态已经最小化了，一般也不多(C_n^2)即可)

方法二 状态集划分法：由粗到精

具体步骤：

核心就是：对于初始化划分的状态集 加入字母表中的字符 ，看得到的状态集与原来状态集 的交集，如果交集不为空 把相交的部分单拎出来，成为一个独立的小团体。直至不再变化

遍历每个字母表的字母，用过的不再用

具体实例：

例题：

先划分初始状态 ({0,1},{2,3,4,5}) 这个比较好办，就是根据是否是接受状态划分即可。

然后对字母表中的a,b遍历进上面两个集合，直接对({2，3，4，5}) 集合分析，{0,1}集合感觉属于贵宾席位算是第一梯队，我们的目的是在第二梯队的({2，3，4，5})再进行细分，得到第三梯队、第四梯队……。对于({2，3，4，5}) a进入，得到(delta(2,a)=1,delta(3,a)=3,delta(4,a)=0,delta(5,a)=5) 首先知道的是，它们与原来的梯队有交集，可以肯定可以划分！！！然后再仔细看，发现虽然都"努力"了，但是这四个人的结果是不同的，({2,4})离第一梯队很近，({3,5})则距离较远。因此结果是({{0,1},{2,4},{3,5}}) .

然后继续用字母表里的字母分别对这3个集合做类似映射的操作。发现无论是a,b都不能有交集了，所以划分停止。

再对上面最后停止的操作，做扫尾工作。比较简单。可以得到最后的最小DFA。