边三连通分量算法

Posted 2020-12-11 tweetuzki

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给出一张 (n) 个点 (m) 条边的无向图，可能不连通、有重边、有自环、有割边。求其所有极大的边三连通分量。

(n, m le 5 imes 10 ^ 5)。

论文太长了，还没看完，目前只看懂了算法步骤，一些证明还咕在后面。就先介绍一下步骤，正确性证明和时间复杂度证明等我看懂以后补上来。附一个论文原地址：A Simple 3-Edge-Connected Component Algorithm，来源选 ResearchGate 那个可以免费下载。

由于这个算法的核心在于其中的 Absort-Eject 操作，我习惯称其为 Absorb-Eject 算法。Absorb-Eject 算法的思想与求点双、边双的 Tarjan 算法类似，都是利用算法过程中建出的 dfs 树，求出点之间的连边情况。故为了更清晰地弄懂这个算法，最好对点双、边双的 Tarjan 算法有一定的理解。

为了减少讨论，我们需要先删除掉原图上一些可有可无，但会导致一些麻烦的分类情况的边：自环和割边。

• 自环：显然存在一个最优方案使得连通的三条路径都不包含自环，故自环可删。
• 边三连通分量一定是边双连通分量，因此割边两端的边不可能属于同一个边三连通分量，故割边可删。

经过这样预处理转化后，我们将原图变成了若干无自环的边双连通分量的连通块。那么以下的算法过程，均在这样的边双中进行。

首先，对限制条件进行一定的观察：两个点 (u, v) 在相同的边三内，当且仅当不存在一个边对 ((e_1, e_2))，满足将原图的 (e_1, e_2) 割开以后，(u) 与 (v) 不连通。

再加上这张图内没有割边，我们可以定义一个类似割边的定义：切边。我们称一条边 (e) 是切边，当且仅当它能够与另外一条边 (e‘) 配合，把原图割成两个连通块。那么，对于一条边 (e = (u, v))，若 (e) 是一条切边，则 (u, v) 一定不在一个相同的边三内；若 (e) 不是一条切边，则 (u, v) 一定在一个相同的边三内。所以我们只需要把原图中所有切边删去，剩下的边就将原图连成了若干边三。

于是我们明确了算法的目的：确定每条边是否为切边。

这个算法的核心步骤是 Absorb-Eject 操作，可译为吞吐操作。Absorb 会在一条边 ((w, u)) 上进行，表示 (w) 将 (u) 吞并。吞并时，(u) 消失，所有与 (u) 相邻的边 ((x, u))（除了 ((w, u)) 以外），都变成与 (w) 相邻的边 ((x, w))。特殊地，如果 (u) 的点度为 (2) （注意此时的点度是吞并后形成的新图的点度，而点 (u) 也可能已吞并了若干个点），那么可以割开这两条边使得 (u) 与外界不连通，说明 (u) 及 (u) 已吞并过的点是一个单独的边三，就让 (w) 将 (u) 吐出来，而吐出来的 (u) 失去所有相邻的边。

形式化来讲，对于每个点 (u)，定义其已吞并点集为 (sigma(u))，初始时，(sigma(u) = {u})。进行到目前的图为 (G‘ = (V‘, E‘))，进行吞吐的边为 ((w, u))。那么进行一次 Absorb-Eject 操作后，图会变成 (G‘ / e = (V‘‘, E‘‘))。其中 (E‘‘ = E‘ setminus E_u cup E_{w ^ +})，其中 (E_u) 表示 (G‘) 中与 (u) 相邻的边，(E_{w ^ +} = { f‘ = (w, z) mid exists f in E_u, ext{ such that } f = (u, z) ext{ for some } z in V‘ - {w} })。而 (V‘‘) 需要分类讨论，若 (deg_{G‘}(u) = 2)，则 (u) 会被 (w) 吐出来，那么 (V‘) 没变；若 (deg_{G‘}(u) eq 2)，则 (u) 被 (w) 吸收，(V‘‘ = V‘ - {u})，(sigma(w) = sigma(w) cup sigma(u))。

由于可以证明（第一个待补证明的坑），若 (deg_{G‘}(u) eq 2)，则 ((w, u)) 一定不是切边，也就是 (w, u) 一定在一个边三内。换句话说，就是 (sigma(w)) 就是 (w) 所代表的一个原图上的一个边三。在进行若干次吞并后，所有的边都消失了，变成若干独立的点。则每个独立的点就代表着原图上一个极大边三连通分量，就是我们想求的东西。

以上是核心步骤 Absorb-Eject。我们接下来用一个类似 Tarjan 算法的 dfs 过程，配合着 Absorb 操作，将原图一步步变成这样没有边的图，得到每一个表示极大边三连通分量的独立点。

又有一个奇怪的结论（第二个待补证明的坑）：递归完一个子树 (u) 结束回溯后，子树 (u) 内所有仍未确定是否为切边的边形成了一条一端为 (u) 的路径，也即修改后的图形成了一条一端为 (u) 的路径和若干代表者边三连通分量的独立点。我们称 (u) 上挂着的这条路径为 (u) - path，记 (P_u)，我们需要在 dfs 的过程中维护 (P_u)，最终到达根 (r) 时的 (P_r) 会为空，也就是再没有未确定是否为切边的边，就结束了我们的算法过程。

dfs 过程中，同样记录 (low) 和 (dfn)，(dfn(u)) 表示点 (u) 在 dfs 序中的编号，(low(u)) 表示 (u) 经过最多一条返祖边能到达的 (dfn) 最小值，那么有 (low(w) = min({low(u) mid u ext{ is a child of } w} cup { dfn(w‘) mid (w, w‘) ext{ is a back-edge} } cup {dfn(w)}))。我们令此时 dfs 到了一个点 (w)，枚举其相邻边，分类讨论更新 (low) 和 (P_w)。

• ((w, u)) 是一条没用的边，即 (w = u)，或 ((w, u)) 为割边，或 (u) 是 (w) 的父亲且 (w) 是从 (u) 的这条边过来（就是父边）。不管，continue。
• ((w, u)) 是一条树边。递归执行 (dfs(u))。首先判断一下 (deg_{G‘}(u)) 是否为 (2)，如果等于 (2) 那么要先把 (u) 独立吐出来形成一个单独的边三，同时把 (u) 从 (P_u) 中去掉，(P_u = P_u - u)。接着看 (low(u)) 是否会对 (low(w)) 产生贡献：
  • 若 (low(u) < low(w))，大概由于增加了一条 (u o low(u) o low(w) o P_w) 的路径，原本还未确定的 (P_w) 可以确定为不是切边了，于是让 (w) 将原本的 (P_w) 吞并掉，然后用 (w + P_u) 把 (P_w) 替换掉。
    
  • 若 (low(u) ge low(w))，类似上一条，原本还未确定的 (P_u) 可以确定为不是切边了，让 (w) 把 (P_u) 吞并掉，保持 (P_w) 不变。
• ((w, u)) 是一条返祖边。若再满足 (dfn(u)) 可以更新 (low(w))，那么 (P_w) 可以确定为不是切边了，这时让 (w) 把 (P_w) 吞并掉，然后 (P_w) 清空。
• ((w, u)) 是一条前向边。由于 ((w, u)) 这条边的存在，(u) 一定落在 (P_w) 上。那么这时 (P_w) 的 ([w cdots u]) 部分可以确定为不是切边了，就让 (u) 把 (P_w) 的 ([w cdots u]) 部分吞并掉，剪掉 (P_w) 的这段前缀。
  

由于 (low(r) = 1)，所有的树边都会到 (low(u) ge low(w)) 这条，因此 (P_r) 保持为空。也就是上面所说的，递归到根结束后，就确定了每条边是否为切边，算法顺利完成。

贴上论文中给出的伪代码：

最后，注意到图变化的时候边不需要显式地维护，只要维护每个点的相邻点度就好了。代码能比较容易地写出来：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <utility>
#include <vector>

const int MaxN = 500000, MaxM = 500000;

struct graph_t {
  int cnte;
  int head[MaxN + 5], to[MaxM * 2 + 5], next[MaxM * 2 + 5];

  graph_t() { cnte = 1; }

  inline void addEdge(int u, int v) {
    cnte++; to[cnte] = v;
    next[cnte] = head[u]; head[u] = cnte;
  }
};

struct union_find {
  int par[MaxN + 5];
  union_find() { memset(par, -1, sizeof par); }

  int find(int x) { return par[x] < 0 ? x : par[x] = find(par[x]); }

  inline void merge(int u, int v) {
    int p = find(u), q = find(v);
    if (p == q) return;
    par[p] += par[q];
    par[q] = p;
  }
};

int N, M;
graph_t Gr;

class two_edge_connect {
private:
  int low[MaxN + 5], dfn[MaxN + 5], dfc;
  int stk[MaxN + 5], tp;
  int bel[MaxN + 5], s;

  void dfs(int u, int fe) {
    low[u] = dfn[u] = ++dfc;
    stk[++tp] = u;
    for (int i = Gr.head[u]; i; i = Gr.next[i]) {
      if ((i ^ fe) == 1) continue;
      int v = Gr.to[i];
      if (dfn[v] == 0) {
        dfs(v, i);
        low[u] = std::min(low[u], low[v]);
      } else
        low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
    }
    if (low[u] == dfn[u]) {
      s++;
      for (;;) {
        int v = stk[tp--];
        bel[v] = s;
        if (u == v) break;
      }
    }
  }

public:
  void init() {
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    dfc = tp = s = 0;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
      if (dfn[i] == 0) dfs(i, 0);
  }

  inline bool isbridge(int u, int v) {
    return bel[u] != bel[v];
  }
};

class three_edge_connect {
private:
  two_edge_connect bcc;
  union_find uf;
  int low[MaxN + 5], dfn[MaxN + 5], end[MaxN + 5], dfc;
  int deg[MaxN + 5];

  inline bool insubtree(int u, int v) {
    if (dfn[u] <= dfn[v] && dfn[v] <= end[u]) return true;
    else return false;
  }

  inline void absorb(std::vector<int> &path, int u, int w = 0) {
    while (path.empty() == false) {
      int v = path.back();
      if (w > 0 && insubtree(v, w) == false) break;
      path.pop_back();
      deg[u] += deg[v] - 2;
      uf.merge(u, v);
    }
  }

  void dfs(int u, int fe, std::vector<int> &pu) {
    low[u] = dfn[u] = ++dfc;
    for (int i = Gr.head[u]; i; i = Gr.next[i]) {
      int v = Gr.to[i];
      if (u == v || bcc.isbridge(u, v) == true) continue;
      deg[u]++;
      if ((i ^ fe) == 1) continue;
      if (dfn[v] == 0) {
        std::vector<int> pv;
        dfs(v, i, pv);
        if (deg[v] == 2) pv.pop_back();
        if (low[v] < low[u]) {
          low[u] = low[v];
          absorb(pu, u);
          pu = pv;
        } else absorb(pv, u);
      } else {
        if (dfn[v] > dfn[u]) {
          absorb(pu, u, v);
          deg[u] -= 2;
        } else if (dfn[v] < low[u]) {
          low[u] = dfn[v];
          absorb(pu, u);
        }
      }
    }
    end[u] = dfc;
    pu.push_back(u);
  }

public:
  void init() {
    memset(dfn, 0, sizeof dfn);
    memset(deg, 0, sizeof deg);
    dfc = 0;
    bcc.init();
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
      if (dfn[i] == 0) {
        std::vector<int> pi;
        dfs(i, 0, pi);
        absorb(pi, i);
      }
    }
  }

  std::vector< std::vector<int> > getall() {
    std::vector< std::vector<int> > res(N), ans;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
      int x = uf.find(i);
      res[x - 1].push_back(i);
    }
    for (int i = 0; i < N; ++i)
      if (res[i].empty() == false) ans.push_back(res[i]);
    return ans;
  }
};

void init() {
  scanf("%d %d", &N, &M);
  for (int i = 1; i <= M; ++i) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    Gr.addEdge(u, v);
    Gr.addEdge(v, u);
  }
}

inline bool cmp(const std::vector<int> &x, const std::vector<int> &y) { return x[0] < y[0]; }

void solve() {
  static three_edge_connect tcc;
  tcc.init();
  std::vector< std::vector<int> > ans = tcc.getall();
  for (int i = 0; i < (int) ans.size(); ++i)
    std::sort(ans[i].begin(), ans[i].end());
  std::sort(ans.begin(), ans.end(), cmp);
  printf("%d
", (int) ans.size());
  for (int i = 0; i < (int) ans.size(); ++i) {
    int s = (int) ans[i].size();
    for (int j = 0; j < s; ++j)
      printf("%d%c", ans[i][j], " 
"[j == s - 1]);
  }
}

int main() {
  init();
  solve();
  return 0;
}