浅谈2-SAT

Posted 2020-12-11 xzj213

什么是2-SAT

2-sat问题是一个逻辑互斥问题，与我们小时候做过的一道数学题一样。

A,B,C三个人中有两个女生，其中如果A为女生，B一定不是女生，而且A与C性别相同，求A，B，C的性别。

这是一道非常简单的题目，我们可以简单分析一下。

我们用(f[i]=0)表示(i)为女生，(f[i]=1)表示(i)为男生，那么“如果A为女生，B一定不是女生”这句话可以表示为(if (f[1]==0) f[2]=1;)反过来也一样，即若B为女生，A一定不是。同理，“A与C性别相同”这句话就可以表示为(f[3]=f[1])。而这，就是一道最简单的2-sat问题。

那么在此基础上，我们就可以开始分析2-sat了。

概念

SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 K-SAT。

可以证明，当(K>2)时，K-SAT是NP完全的。因此一般讨论的是k=2的情况，即2-SAT问题。

我们通俗的说，就是给你n个变量(a_i)，每个变量能且只能取0/1的值。同时给出若干条件，形式诸如((not)a_i) opt ((not)a_j = 0/1)，其中opt表示(and,or,xor)中的一种

而求解2-SAT的解就是求出满足所有限制的一组a

如何求解2-sat

我们发现，每一个条件如上题中“如果A为女生，B一定不是女生”我们可以考虑将A与B拆点，拆为A为女（(a_0)）、A为男（(a_1)）、B为女（(a_2)）和B为男（(a_3)）。那么这个条件我们就可以将(a_1)向(a_4)连一条单向边，(a_3)向(a_2)连一条单向边。那么当我们发现它成为了环时，准确来说是当(a_i)和(a_{i+1})在同一个环中，也就是说某人（hzr）既要当男生又要当女生时，显然是不成立的，此时是无解的。若没有出现这种情况，就说明存在这样一组解。

我们可以举一些简单的例子来总结下连边的规律（用i′表示i的反面）：

(i,j)不能同时选：选了(i)就要选(j′)，选(j)就要选(i′)。故(i ightarrow j′),(j ightarrow i′)。一般操作即为(a_i) ^ (a_j=1)

(i,j)必须同时选：选了(i)就要选(j)，选(j)就要选(i)。故(i ightarrow j),(j ightarrow i)。一般操作即为(a_i) ^ (a_j)=0

(i,j)任选（但至少选一个）选一个：选了(i)就要选(j′)，选j就要选(i′)，选(i′)就要选(j)，选(j′)就要选(i)。故(i ightarrow j′),(j ightarrow i′),(i′ ightarrow j),(j′ ightarrow i)。一般操作即为(a_i) ^ (a_j)=1

(i)必须选：直接(i′)→(i)，可以保证无论怎样都选(i)。一般操作为给出的(a_i=1)或(a_i) & (a_j=1)