JZOJ 3468 OSU！题解

Posted 2020-12-11 kuangbiaopilihu

题目大意

一共有 (n) 次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应 (1)，失败对应 (0)，(n) 次操作对应为 (1) 个长度为 (n) 的 (01)串。在这个串中连续的 (X) 个 (1) 可以贡献 (X^3) 的分数，这 (X)个 (1) 不能被其他连续的 (1) 所包含（也就是极长的一串 (1)，具体见样例解释）
现在给出 (n)，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留 (1) 位小数。

输入格式

第一行有一个正整数 (n)，表示操作个数。
接下去 (n) 行每行有一个 ([0,1]) 之间的实数，表示每个操作的成功率。

输出格式

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留 (1) 位小数。

样例输入

3
0.5
0.5
0.5

样例输出

6.0

数据范围与提示

(000) 分数为 (0)，(001) 分数为 (1)，(010) 分数为 (1)，(100) 分数为 (1)，(101) 分数为 (2)，(110) 分数为 (8)，(011) 分数为 (8)，(111) 分数为 (27)，总和为 (48)，期望为 (48/8=6.0)
(Nle100000)

分析

• 我们先考虑一个简单的问题，如果连续 (X) 个 (1) 贡献的分数为 (X) 要怎么处理？其实很简单，我们考虑每多一个 (1) 最结果的贡献，这里因为连续长度从 (x) 增加到 (x+1)，得分也是加 (1)，而第 (i) 位为 (1) 的概率为 (p_i)，那么真正的贡献为 (p_i)，其实就是每个位置选取 (1) 的概率之和。
• 那么对与本题贡献值为 (x^3) 来说，也可以用同样的方法来考虑，设长度为 (i) 的 (01) 串的期望得分为 (f3[i])，那么 (f3[i+1]) 怎么求？
  我们同样可以考虑增加一位对结果的贡献：
  • 如果该位为 (0)，肯定贡献为 (0)；
  • 如果该位为 (1)，那么这个 (1) 就要接在到第 (i) 位结尾连续的 (x) 个 (1) 的后面，变成长度为 (x+1) 的连续的 (1) 串，那么此时第 (i+1) 位上对结果的贡献为 (Delta=(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1)
    最终的分数就是把每个 (1) 的贡献累加起来。因为第 (i) 位为 (1) 是有概率的，为 (p_i)，所以它真正对分数之和的贡献为 (Delta imes p_i)。因此我们可以得到一个递推式 (f3[i+1]=f3[i]+Delta imes p_i)。因为 (Delta) 里面的 (x) 指的是期望的长度，所以我们还需要定义

由于我们求的是获得分数的期望，由期望的公式 (E((Y+1)^3)=E(Y^3+3Y^2+3Y+1)=E(Y^3)+3E(Y^2)+3E(Y)+1)。我们知道，(E(Y^2)) 一般是不等于 (E^2(Y))，