「解题报告」[luoguP6592]幼儿园 (DP)

Posted 2020-12-11 brucew

「解题报告」[luoguP6592]幼儿园 (DP)

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题面

题意

给定一个 (n) 个点, (m) 条边的带权有向图.

每条边的边权是唯一的, 且第 (i) 条边的边权为 (i).

(k) 个形如 ((x,l,r)) 的询问, 回答是否存在一条从 (x) 到 (1) 的路径, 满足路径上的边权 (w) 大于等于 (l) 小于等于 (r) 且路径上的边权递减.

强制在线.

数据范围

(1 le n le 10^5, 1 le m le 2 imes 10^5, 0 le k le 2 imes 10^5, 1le l,r le m).

思路

为了方便描述, 把图反向, 点 (x) 到 (1) 的单调递减路径 就转变为 点 (1) 到 (x) 的单调递增路径.

对于到点 (x) 的一条路径 ([l,r]) , 若存在另一条路径 ([l‘,r]) , 满足 (l‘ > l) , 那么路径 ([l,r]) 就没有存在的意义了.

因为路径上的边权是单调递增的, 所以如果我们按边权从小到大枚举每一条边, 一条合法路径上的边一定会被顺序枚举到.

考虑 (DP) , 设 (d[x]) 为从点 (1) 到点 (x) 路径上最小边 (l) 的最大值. 按边权从小到大枚举每条边 ((u,v)) , 用 (d[u]) 更新 (d[v]) (若 (u=1) , 则 (d[v]) 为该边的边权) , 并把路径 ([d[v],len(u,v)]) 加入点 (v) 的备选路径中.

这样的话, 对于每一个 (len(u,v)) , 它都仅会与一个最大的 (l) 组成路径, 并且每个 ((u,v)) 都只会使路径数 (+1), 总路径数便为 (m).

最后询问点 (x) 的时候, 在点 (x) 的备选路径中二分查找一下就行了.

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define sz(x) (int)(x).size()
#define pb push_back
#define mkp make_pair
using namespace std;
const int _=1e5+7;
int n,m,Q,ty,d[_];
vector<pii> pth[_];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("x.in","r",stdin);
#endif
    cin>>n>>m>>Q>>ty;
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&y,&x);
        if(x==1) d[y]=i;
        else d[y]=max(d[y],d[x]);
        if(d[y]) pth[y].pb(mkp(d[y],i));
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=sz(pth[i])-2;j>=0;j--)
	    pth[i][j].second=min(pth[i][j].second,pth[i][j+1].second);
    int l,r,L=0; bool ans;
    while(Q--){
        scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
        if(ty) x^=L,l^=L,r^=L;
        if(x==1) ans=1;
        else{
            int p=lower_bound(pth[x].begin(),pth[x].end(),mkp(l,0))-pth[x].begin();
            if(p==sz(pth[x])) ans=0;
            else ans=(pth[x][p].second<=r);
        }
        L+=ans;
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}