动态规划

Posted 2023-02-22 盖丽男

什么是动态规划

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划的前提是什么？

存在最优解

拿出来任意一块物品，仍旧是最优解

动态规划体现了什么思想?

逆向思维

坚信一定存在一个最优解，才能坚持逆向思维。
包里的物品是不确定的，只能确定包里有若干个物品，但是是哪几个不确定。
只能随机（因为不知道拿的谁，所以这里体现了动态）拿一块儿出来，i是n的某一个，i可能在包里，可能不在包里（这里也体现了动态）。

假设

假设的前提，是存在。一定存在一个最优解，才能假设最优解，比如最优解为S，或者最优解为X。

以01背包问题为例

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
我们来直接看一下最核心的那个公式：

让我们把关注点放在最中心的表达式上，表达式中出现了两个未知项，i和w，思考一下，i和w分别代表什么？

首先：
c[i,w]代表，背包容量为w，i个物品导致的最优解，注意，此时一定是最优解，背包容量一定是w，但是背包里有几个物品，其实我们是不确定的，我们只知道，背包中装了i个物品里的若干个。同样，i是几其实我们也不知道。

c[i-1,w-wi]+vi代表，背包容量为w时，第i块儿在背包里的情况。

c[i-1,w]代表，背包容量为w时，第i块儿不在背包里的情况。

下面我们反着来想，也就是用逆序思维来想，此时，我们假定c[i,w]就是我们要求的最优解，然后我们随便从n个物品中选择一个，我们假设它就是第i个物品（i可以是任意一个小于n的数），这个物品，可能在这个最优解的背包中，也可能不在这个最优解的背包中，但是一旦我们确定它到底在不在（也就是通过max），我们就可以把这一块儿排除考虑了，重复这个过程。