Codeforces 1312D - Count the Arrays

Posted 2020-12-10 urushibara-ruka

Description

要你求每个元素都在$[1,m]$,存在一个位置左边严格递增，右边严格递减，且恰好存在一对相等元素的$n$个元素的数组的数量$(1 leq n leq m leq 2 * 10^5)$

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 Solution

枚举数组中的最大值$max$，有$max geq n - 1$
当数组中最大值左边有a个位置时，方案数为$C_{max-1}^{n-2} *(n-2)*C_{n-3}^{a-1}$
最大值不可能在最左边或最右边
总方案数为$$sum_{max = n - 1}^{m}sum_{a = 1}^{n-2} C_{max-1}^{n-2} *(n-2)*C_{n-3}^{a-1} \ = (n-2) sum_{max = n - 1}^{m}C_{max-1}^{n-2}sum_{a = 1}^{n-2} C_{n-3}^{a-1} \ =(n-2) sum_{max = n - 1}^{m}C_{max-1}^{n-2} * 2^{n-3}$$