DP从入土到入门

Posted 2020-12-10 luckyblock

目录

• P5017 摆渡车
• P4910 【帕秋莉的手环】

做一大堆DP

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P5017 摆渡车

详见 P5017 摆渡车 - Luckyblock

算法一

设 (f_i) 在 (i) 时间发车，发车时等待的时间和的最小值。则显然有：

[f_i = min_{jle i-m}(f_j + sum_{j < t_k le i}^{n}{(i-t_k)}) ]

对于每个 (f_i)，当在 (i) 时刻时发第一班车，(f_i)最大，则其初始值为：

[f_i = sum_{t_k<i}^{n} {(i-t_k)} ]

为保证载上所有人，最后一班车需在 ([t_{max}, t_{max}+m))内发车，则：

[ans = min_{i=t_{max}}^{t_{max}+m}(f_i) ]

前缀和优化，设 ：

[cnt_i=sumlimits_{t_kle i} 1, pos_i = sumlimits_{t_kle i}{t_k} ]

对于上式中的 (sumlimits_{j < t_k le i}{i-t_k})，有：

[sumlimits_{j < t_k le i}{i-t_k} = (cnt_i-cnt_j) imes i - (pos_i-pos_j)]

替换状态转移方程。

优化转移方程，对于状态转移方程：

[f_i = min_{jle i-m}(f_j + (cnt_i-cnt_j) imes i - (pos_i-pos_j)) ]

显然，若 (jle i-2m)，则在 (j+m) 时刻可多发一班车，不影响在 (i) 时刻发车，且答案不会变劣。
即：停车时间 (i- (j+m) < m)。

故转移方程可替换为：

[f_i = min_{i-2mle jle i-m}(f_j + (cnt_i-cnt_j) imes i - (pos_i-pos_j)) ]

减去无用状态。

若 (cnt_i=cnt_{i-m})，说明时间段 ([i-m,i])内没有需要坐车的人。
则在 (i-m) 时刻发车，在 (i) 时刻不发车，不会使答案变劣，(f_i) 是一个无用状态。

则可将状态转移方程改为：
(f_i = egin{cases}f_{i-m} &cnt_i=cnt_{i-m}\\ min_{i-2mle jle i-m}(f_j + (cnt_i-cnt_j) imes i - (pos_i-pos_j))& ext{otherwise}end{cases})

当满足 (t_i = t_{i-1}+m) 时，有用的位置最多，为 (nm) 个。

复杂度 (O(nm^2 + t))，期望得分 (100 ext{pts})。

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算法二

由算法一，停车时间 (i- (j+m) < m)。
车往返一次时间 (m)，则人等车时间 (< 2m)。

设 (f_{i,j}) 表示第 (i) 个人，等待时间为 (j)，且前 (i) 个人已到达的时间最小值。

初始值 (f_{1,i} = i)。

分类讨论：

1. 若 (t_{i+1} le t_{i+1} + j)，则第 (i+1) 个人可和 第 (i) 个人坐同一辆车走。
   第 (i+1) 个人的等待时间 (k = t_i+j-t_{i+1})
   状态转移方程式为：

[f_{i+1, k} = min(f_{i+1, k},f_{i,j}+k ) ]

2. 否则，枚举第 (i+1) 个人的等待时间 (k)。
   [kin [max(0, t_i + j + m - t_{i+1}), 2m) ]
   状态转移方程式同上，为：
   [f_{i+1,k} = min (f_{i+1}, k, f_{i,j} + k) ]

复杂度 (O(nm^2))，期望得分 (100 ext{pts})。

代码 P5017 摆渡车 - Luckyblock

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P4910 【帕秋莉的手环】

题目要求:

给定一个长度为 (n) 的环，填入 金色或绿色。
不能有两个相邻的绿色。
多组数据, (Tle 10, nle 10^{18})

矩阵加速模板。

设 (f_{i,0/1}) 为当前填到第 (i) 位，第一个位置为 金色/绿色 的合法方案数。
分成第一个位置为 绿/金讨论：

1. 第一个位置为绿色时，(f_{1,0} = 0,f_{1,1} = 1)。
   由于不能有两个相邻的绿色，则结尾珠子必为金色。
   其对答案的贡献为 (f_{n,0})
2. 第一个位置为金色时，(f_{1,0} = 1, f_{1,1} = 0)。
   此时结尾珠子颜色任意。
   其对答案的贡献为 (f_{n,0} + f_{n,1})

状态转移方程：
(f_{i,0} = f_{i-1,0} + f_{i-1,1})
(f_{i,1} = f_{i-1,0})

复杂度 (O(Tn))，期望得分 ( ext{60pts})。

上式显然可矩阵加速，转移矩阵如下：

[egin{bmatrix}f_{i-1,0}&f_{i-1,1}end{bmatrix} imes egin{bmatrix}1&1\\1&0end{bmatrix} = egin{bmatrix}f_{i,0}&f_{i,1}end{bmatrix} ]

复杂度 (O(Tlog n))，期望得分 ( ext{100pts})。

代码 P4910 【帕秋莉的手环】 - Luckyblock

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