替罪羊树(重量平衡树)总结及板子

Posted 2020-09-30

　　　没事干写个板子来玩一玩...平衡树的板子,上一篇写的 splay 的题解,这一篇来搞点别的.其实就我自己来说,并不太喜欢 splay ,各种旋转什么的,扭扭捏捏一点都不爽,那怎么办咧,于是学了这么个东西---替罪羊树,不平衡就重构嘛,简单粗暴,写起来也方便.

　　替罪羊树的主要思想就是将不平衡的树压成一个序列,然后暴力重构成一颗平衡的树.

　　这里的平衡指的是:对于某个 0.5<=alpha<=1 满足 size( lson(x) )<=alpha*size(x) 并且 size( rson(x) )<=alpha*size(x),即这个节点的两棵子树的 size 都不超过以该节点为根的子树的 size ,那么就称这个子树(或节点)是平衡的, alpha 最好不要选 0.5 ,容易T飞,一般选 0.75 就挺好的.

　　至于复杂度,虽说是重构,但复杂度并不高,压扁和重建都是递归操作,也就是像线段树一样的 log 级别,由于平衡的限制,插入,删除,即查询等操作也会控制在一个较低的级别,均摊下来替罪羊树的总复杂度是 O(logn) 的.

　　细节的地方我们以这道题为例:[BZOJ 3224]普通平衡树

　　这应该算是一道平衡树板子题吧,操作也正好适用于替罪羊树(简单的 insert , delete ,没有 reverse ).

　　做题的时候就在想一个问题,为什么要叫替罪羊树呢,应该是和 delete 操作有关,替罪羊树中的删除操作,就是用被删除节点的左子树的最后一个节点或者右子树的第一个节点来顶替被删除节点的位置,即"替罪羊".其他操作在代码中体现.

　　我觉得我的代码还是 蛮好看的 ,窃笑......

　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define inf (1<<30)
#define maxn (2100000)
#define db double
#define il inline
#define RG register
using namespace std;
il int gi(){ 
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); 
  while( ( ch<‘0‘ || ch>‘9‘ ) && ch!=‘-‘ ) ch=getchar();
  if( ch==‘-‘ ) q=-1,ch=getchar(); 
  while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar(); 
  return q*x; 
}

const db al=0.75;
struct node{ int son[2],fa,size,num; }t[maxn];
int n,cnt,root;

il bool balance(RG int id){  //平衡限制,这里的 alpha 取0.75
  return (db)t[id].size*al>=(db)t[ t[id].son[0] ].size
    && (db) t[id].size*al>=(db)t[t[ id].son[1] ].size;
}

int cur[maxn],sum;

il void recycle(RG int id){   //压扁成一个序列,按大小顺序回收节点
  if(t[id].son[0]) recycle(t[id].son[0]);
  cur[++sum]=id;
  if(t[id].son[1]) recycle(t[id].son[1]);
}

il int build(RG int l,RG int r){  //递归建树
  if(l>r) return 0;
  RG int mid=(l+r)>>1,id=cur[mid];
  t[ t[id].son[0]=build(l,mid-1) ].fa=id;
  t[ t[id].son[1]=build(mid+1,r) ].fa=id;
  t[id].size=t[ t[id].son[0] ].size+t[ t[id].son[1] ].size+1;
  return id;
}

il void rebuild(RG int id){  //重构
  sum=0; recycle(id);
  RG int fa=t[id].fa,Son=( t[ t[id].fa ].son[1]==id );
  RG int cur=build(1,sum);
  t[ t[fa].son[Son]=cur ].fa=fa;
  if(id==root) root=cur;
}

il void insert(RG int x){
  RG int now=root,cur=++cnt;
  t[cur].size=1,t[cur].num=x;
  while(1){  //插入维护序列,左小右大
    t[now].size++;
    RG bool Son=(x>=t[now].num);
    if( t[now].son[Son] ) now=t[now].son[Son];
    else{
      t[ t[now].son[Son]=cur ].fa=now;
      break;
    }
  }
  RG int flag=0;
  for(RG int i=cur;i;i=t[i].fa) if(!balance(i)) flag=i;
  if(flag) rebuild(flag); //插入往往会导致不平衡,这时只需要重建不平衡的子树即可
}

il int get_num(RG int x){  //查询 x 在树中的节点编号
  RG int now=root;
  while(1){
    if(t[now].num==x) return now;
    else now=t[now].son[ t[now].num<x ];
  }
}

il void erase(RG int id){  //删除
  if(t[id].son[0] && t[id].son[1]){
    RG int cur=t[id].son[0];
    while(t[cur].son[1]) cur=t[cur].son[1];
    t[id].num=t[cur].num; id=cur;
  }  //删除操作需要找到左子树的最后一个节点或右子树的第一个节点来顶替,优先找左子树
  RG int Son=(t[id].son[0]) ? t[id].son[0]:t[id].son[1];
  RG int k=( t[ t[id].fa ].son[1]==id );
  t[ t[ t[id].fa ].son[k]=Son ].fa=t[id].fa;
  for(RG int i=t[id].fa;i;i=t[i].fa) t[i].size--;
  if(id==root) root=Son;
}

il int get_rank(RG int x){  //查 x 的排名
  RG int now=root,ans=0;
  while(now){
    if(t[now].num<x) ans+=t[ t[now].son[0] ].size+1,now=t[now].son[1];
    else now=t[now].son[0];
  }
  return ans;
}

il int get_kth(RG int x){  //查树中的第 k 个数
  RG int now=root;
  while(1){
    if(t[ t[now].son[0] ].size==x-1) return now;
    else if(t[ t[now].son[0] ].size>=x) now=t[now].son[0];
    else x-=t[ t[now].son[0] ].size+1,now=t[now].son[1];
  }
  return now;
}

il int get_front(RG int x){  //找前驱,即左子树最后一个点
  int now=root,ans=-inf;
  while(now){
    if(t[now].num<x) ans=max(ans,t[now].num),now=t[now].son[1];
    else now=t[now].son[0];
  }
  return ans;
}

il int get_behind(RG int x){  //找后继,即右子树第一个点
 h RG int now=root,ans=inf;
  while(now){
    if(t[now].num>x) ans=min(ans,t[now].num),now=t[now].son[0];
    else now=t[now].son[1];
  }
  return ans;
}

il void init(){
  cnt=2,root=1;
  t[1].num=-inf,t[1].size=2,t[1].son[1]=2;
  t[2].num=inf,t[2].size=1,t[2].fa=1;
}

il void work(){
  n=gi(); RG int type,x;
  for(RG int i=1;i<=n;i++){
    type=gi(),x=gi();
    if(type==1) insert(x);
    if(type==2) erase( get_num(x) );
    if(type==3) printf("%d\\n",get_rank(x));
    if(type==4) printf("%d\\n",t[ get_kth(x+1) ].num);
    if(type==5) printf("%d\\n",get_front(x));
    if(type==6) printf("%d\\n",get_behind(x));
  }
}

int main(){ init(); work(); return 0; }//贯彻一行 main() 的习惯