树状数组预备

Posted 2020-12-10 zqytcl

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了树状数组预备相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

<前言>

本次依旧是高手训练专题解析。

但与以往不同的是，这次会附上树状数组基础内容。

本篇为基础内容。

<树状数组>

在此贴出大哥的blog，有更加全面、系统的介绍。

什么是树状数组？怎么用树状数组？树状数组有什么应用？

什么是树状数组？

树状数组 是一种数据结构，可以在(O(log_2 n ))时间内完成 **修改、查询 **等序列操作。

它可以处理区间、单点加&查询，以及前（后）缀最值。

它利用了(lowbit())运算的一些性质。

观察(1...10)的(mathrm{lowbit})序列：

序号	(lowbit)	二进制
1	1	1
2	2	10
3	1	11
4	4	100
5	1	101
6	2	110
7	1	111
8	8	1000
9	1	1001
10	2	1010

容易发现(lowbit)就是在求最低位的1所代表的数。

而我们可以通过补码的性质快速求(lowbit)

#define lowbit(x) (x & (-x))

那么我们可以根据这个性质搞出一棵树（森林），使一些点对应一段区间。

大概长这样：((mathrm{x})连向(mathrm{y})的边代表(mathrm{y + lowbit(y) = x}))

技术图片

那么我们通过改变一个值的大小来代表改变一段区间的（子树）所有数的大小。

比如点(x)对应（可以理解为一种代表）([x - mathrm{lowbit(x)} + 1, x])一段区间内的数。对这一段区间进行区间加的时候只需要修改x就行了。

那么对于序列({a_i}) ,我们需要维护一个({c_i}),定义如下

[c_n = sum_{i = n - mathrm{lowbit(n) + 1}}^{n} a_i ]

即(c_n)为所有子树内(a_i)的和。

如何使用树状数组

我们需要掌握修改、查询等操作

修改

我们进行修改操作的时候，可以选择是进行前缀修改还是后缀修改。

本质上都是利用了树状数组的性质，所以按照习惯来吧。

修改操作之前说过只需要修改某些特定的点就行了。

比如修改([1, 9]) 一段区间。

我们可以先([1, N])修改，再([9 + 1, N])逆修改。

修改之后的树形态：技术图片

我们只修改了少数点，而且个数是(mathrm{O(log_2 n)})级别的，数量越大优势越明显。

(mathrm{Code:})

inline void inc(int x, int v) {for(; x <= MAX
N; x += lowbit(x)) c[x] += v;}

查询

那么有人就要问了，这个修改后的形态这么鬼畜，改怎么获得正确的查询信息呢？

我们发现(lowbit)的另一个快乐的性质：

[y = y - lowbit(y)操作能使y到达上一棵同级（或上级）子树的树根 ]

比如上面那个栗子，无论9还是10都可以通过这个运算到达8.

那不是很爽么。单次修改中某个点若在范围内，则其同级子树必有一个被修改。直接通过(lowbit)累计即可。

容易发现

[a_n = sum_{i = n; i; i -=lowbit(i)}c_i ]

我们可以在(O(log_2n))时间内完成查询。

(mathrm{Code:})

inline int ask(int x) {
    int sum = 0;
    for (; x; x -= lowbit(x)) sum += c[x];
    return sum;
}

一些拓展

比如前缀（后缀）最值，可以通过树状数组快速维护。

代码实现十分简单，只需要将("+") ("-")改成("max") ("min")

Just like:

inline void inc(int x, int v) {for (; x <= MAXN; x += lowbit(x)) c[x] = max(c[x], v);} 
//操作这里min也是一样的
inline int ask(int x) {
    int maxn = -1;
    for (; x; x -= lowbit(x)) maxn = max(maxn, c[x]); //注释同上
    return maxn;
}

二维操作&各种基本功能实现详见Pαrsnip的blog

还有比如什么树状数组上二分（倍增）、一些小Trick、简单代替线段树等黑科技。

尽在cz的树状数组黑科技讲义.