回文自动机做题小结

Posted 2020-12-10 knife-rose

模板

求以每个位置结尾的回文串的数量，加密输入

就是回文自动机节点的(len)数组，对应的是最长回文后缀

双倍回文

求形如(AA^rAA^r)

方法一：建立(fail)树，然后对每个(len)是偶数的点，在子树内找有没有长度为(2*len)的点，通过打标记做到(O(n))

方法二：求一个与(fail)数组对应的(tran)数组，含义为长度不超过(frac{len}{2})的后缀回文串，如果(len[tran[x]]*2==len[x])说明该点可以选择

求法就是当(len[x]le 2)的时候(tran[x]=fail[x])，否则从父节点的(tran)开始沿着(fail)往上跳，直到找到能选且长度小于(frac{len}{2})的节点

回文串

求最大回文串的长度和出现的次数

长度不用说，考虑因为树上(fail)连接都是最大回文后缀，所以每个节点代表的回文串在原串中出现的次数就是(fail)树中子树的权值和

[CERC2014]Virus synthesis

每次可以加一个字符或加一个反串，求得到(s)的最少操作次数

按照双倍回文的套路求出(trean)，设(dp[x])是得到(x)点的最小操作次数，初始为(len[x])

[dp[x]=min{dp[fa]+1,dp[tran[x]]+1+frac{len[x]}{2}-len[tran[x]]} ]

注意的是只在(0)的回文子树里操作，因为奇根子树里的回文串根本没法通过加反串得到

秩序魔咒

求在两个字符串里都出现的最长回文串和长度和数量

建两个回文树一起跑就行了

快乐的JYY

求两个字符串中，(A)属于第一个串，(B)属于第二个串，(A=B)且是回文子串的对数

对两个回文树分别求出节点出现次数，然后一起跑，每个节点贡献乘起来

要有光

题目贼长但是蛮有意思的题

给定一个字符串，求通过操作变成某个子串的最小代价

操作一：把(S)变成(S)的最大回文后缀

操作二:把(S)变为(T)使得(S)是(T)的最大回文后缀，(T)是原串的子串（操作一的逆操作）

操作三：把一个回文串删除长度不超过(min(k,frac{len}{2}))的前缀和后缀

操作四：把一个回文串变成一个更长的回文串，变化后的回文串是原串的子串（操作三的逆操作）

操作五：在(S)前面加一个字符，使用后不能再用前四个操作

代价分别是(A,B,C,D,E)

挨个操作分析：

操作一：连边((i,fail[i]，A))

操作二：连边((fail[i],i，B))

操作三：向自己回文树上的(1-k)级祖先连边，权值(C)

操作四：直接向自己子树连边边数就(O(n^2))了，考虑建立一个与原树对应的回文树，只能向子节点走，边权都是(0)，然后再连边((i,i^{‘},D),(i^{‘},i,0))

跑(dij)求最短路（初始节点是最后的(pre)）

设此时(dp[x])表示变化到(x)节点需要的最小代价

[dp[x]=min{dis[x],dp[fail[x]]+E*(len[x]-len[fail[x]])} ]

然后对于每个询问，在(fail)树上找到它最长回文后缀代表的节点，可以倍增实现，答案就是

[dp[pos]+E*(r-l+1-len[pos]) ]

但是如果原串本身不是回文串，在跑(dij)的时候默认从原串的最大后缀回文开始跑的，还要再加一个(A)