Tarjan求有向图强连通详解
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Tarjan求有向图强连通详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
全网最详细tarjan算法讲解,我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解,我看了半天才看懂。我写的这个,读完一遍,发现原来tarjan这么简单!
tarjan算法,一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS(迪法师)算法,深度优先搜索一张有向图。!注意!是有向图。根据树,堆栈,打标记等种种神(che)奇(dan)方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性,就是任督二脉通不通。。的问题。
了解tarjan算法之前你需要知道:
强连通,强连通图,强连通分量,解答树(解答树只是一种形式。了解即可)
不知道怎么办!!!
神奇海螺~:嘟噜噜~!
强连通(strongly connected): 在一个有向图G里,设两个点 a b 发现,由a有一条路可以走到b,由b又有一条路可以走到a,我们就叫这两个顶点(a,b)强连通。
强连通图: 如果 在一个有向图G中,每两个点都强连通,我们就叫这个图,强连通图。
强连通分量strongly connected components):在一个有向图G中,有一个子图,这个子图每2个点都满足强连通,我们就叫这个子图叫做 强连通分量 [分量::把一个向量分解成几个方向的向量的和,那些方向上的向量就叫做该向量(未分解前的向量)的分量]
举个简单的栗子:
比如说这个图,在这个图中呢,点1与点2互相都有路径到达对方,所以它们强连通.
而在这个有向图中,点1 2 3组成的这个子图,是整个有向图中的强连通分量。
解答树:就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树(图),其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用,一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程!”
神奇海螺结束!!!
tarjan算法,之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图,就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1,DFN[]作为这个点搜索的次序编号(时间戳),简单来说就是 第几个被搜索到的。%每个点的时间戳都不一样%。
2,LOW[]作为每个点在这颗树中的,最小的子树的根,每次保证最小,like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW[]最小,那这个点就应该从新分配,变成这个强连通分量子树的根节点。
ps:每次找到一个新点,这个点LOW[]=DFN[]。
而为了存储整个强连通分量,这里挑选的容器是,堆栈。每次一个新节点出现,就进站,如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底,每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值,谁小就取谁,保证最小的子树根。如果找到DFN[]==LOW[]就说明这个节点是这个强连通分量的根节点(毕竟这个LOW[]值是这个强连通分量里最小的。)最后找到强连通分量的节点后,就将这个栈里,比此节点后进来的节点全部出栈,它们就组成一个全新的强连通分量。
先来一段伪代码压压惊:
tarjan(u){
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。
从1进入 DFN[1]=LOW[1]= ++index ----1
入栈 1
由1进入2 DFN[2]=LOW[2]= ++index ----2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN[3]=LOW[3]= ++index ----3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN[6]=LOW[6]=++index ----4
入栈 1 2 3 6
之后发现 嗯? 6无出度,之后判断 DFN[6]==LOW[6]
说明6是个强连通分量的根节点:6及6以后的点 出栈。
栈: 1 2 3
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW[3]还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了,判断 DFN[3]==LOW[3]
说明3是个强连通分量的根节点:3及3以后的点 出栈。
栈: 1 2
之后退回 节点2 嗯?!往下到节点5
DFN[5]=LOW[5]= ++index -----5
入栈 1 2 5
ps:你会发现在有向图旁边的那个丑的(划掉)搜索树 用红线剪掉的子树,那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。
结点5 往下找,发现节点6 DFN[6]有值,被访问过。就不管它。
继续 5往下找,找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN[1]被访问过并且还在栈中,说明1还在这个强连通分量中,值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系,在这棵强连通分量树中,5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so
LOW[5]= 1
由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW[2]=1;
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW[1]还是 1
1还有边没有走过。发现节点4,访问节点4
DFN[4]=LOW[4]=++index ----6
入栈 1 2 5 4
由节点4,走到5,发现5被访问过了,5还在栈里,
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW[4]=5
说明4是5的一个子节点。
由4回到1.
回到1,判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW[1]还是 1 。
判断 LOW[1] == DFN[1]
诶?!相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点,都出栈。
栈 :(鬼都没有了)
这个时候就完了吗?!
你以为就完了吗?!
然而并没有完,万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢?!
所以。tarjan的调用最好在循环里解决。
like 如果这个点没有被访问过,那么就从这个点开始tarjan一遍。
因为这样好让每个点都被访问到。
来一道裸代码。
输入:
一个图有向图。
输出:
它每个强连通分量。
这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<string.h> 4 using namespace std; 5 struct node { 6 int v,next; 7 }edge[1001]; 8 int DFN[1001],LOW[1001]; 9 int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index; 10 void add(int x,int y) 11 { 12 edge[++cnt].next=heads[x]; 13 edge[cnt].v = y; 14 heads[x]=cnt; 15 return ; 16 } 17 void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。 18 { 19 DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。 20 stack[++index]=x;//进站 21 visit[x]=1;//表示在栈里 22 for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next) 23 { 24 if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过 25 tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸,开始递归 26 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情。 27 } 28 else if(visit[edge[i].v ]){ //如果访问过,并且还在栈里。 29 LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子/父亲。就是链接对应关系 30 } 31 } 32 if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。 33 { 34 do{ 35 printf("%d ",stack[index]); 36 visit[stack[index]]=0; 37 index--; 38 }while(x!=stack[index+1]);//出栈,并且输出。 39 printf("\\n"); 40 } 41 return ; 42 } 43 int main() 44 { 45 memset(heads,-1,sizeof(heads)); 46 int n,m; 47 scanf("%d%d",&n,&m); 48 int x,y; 49 for(int i=1;i<=m;i++) 50 { 51 scanf("%d%d",&x,&y); 52 add(x,y); 53 } 54 for(int i=1;i<=n;i++) 55 if(!DFN[i]) tarjan(1);//当这个点没有访问过,就从此点开始。防止图没走完 56 return 0; 57 }
1. 割点与连通度
在无向连通图中,删除一个顶点v及其相连的边后,原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量,则称顶点v为割点,同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性,则称此图的连通度为k。
关节点和重连通图在实际中较多应用。显然,一个表示通信网络的图的连通度越高,其系统越可靠,无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏,都不影响系统的正常工作;又如,一个航空网若是重连通的,则当某条航线因天气等某种原因关闭时,旅客仍可从别的航线绕道而行;再如,若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话,则在某些元件失效的情况下,整个片子的功能不受影响,反之,在战争中,若要摧毁敌方的运输线,仅需破坏其运输网中的关节点即可。
简单的例子
(a)中G7 是连通图,但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边,G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地,若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边,则G7 被分割成两个连通分量。
2. 求割点的方法
暴力的方法:
- 依次删除每一个节点v
- 用DFS(或BFS)判断还是否连通
- 再把节点v加入图中
若用邻接表(adjacency list),需要做V次DFS,时间复杂度为O(V?(V+E))。(题外话:我在面试实习的时候,只想到暴力方法;面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点,当时死活都没想出来)。
有关DFS搜索树的概念
在介绍算法之前,先介绍几个基本概念
- DFS搜索树:用DFS对图进行遍历时,按照遍历次序的不同,我们可以得到一棵DFS搜索树,如图(b)所示。
- 树边:(在[2]中称为父子边),在搜索树中的实线所示,可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
- 回边:(在[2]中称为返祖边、后向边),在搜索树中的虚线所示,可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。
基于DFS的算法
该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树,我们可以发现有两类节点可以成为割点:
- 对根节点u,若其有两棵或两棵以上的子树,则该根结点u为割点;
- 对非叶子节点u(非根节点),若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边,说明删除u之后,根结点与u的子树的节点不再连通;则节点u为割点。
对于根结点,显然很好处理;但是对于非叶子节点,怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。
我们用dfn[u]
记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号,low[u]
记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点(即DFS次序号最小),那么low[u]的计算过程如下:
下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
vertex | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
dfn[i] | 1 | 5 | 12 | 10 | 11 | 13 | 8 | 6 | 9 | 4 | 7 | 2 | 3 |
low[i] | 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 1 | 5 | 5 | 8 | 2 | 5 | 1 | 1 |
对于情况2,当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]
时,节点u才为割点。该式子的含义:以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。
代码实现
void dfs(int u) {
//记录dfs遍历次序
static int counter = 0;
//记录节点u的子树数
int children = 0;
ArcNode *p = graph[u].firstArc;
visit[u] = 1;
//初始化dfn与low
dfn[u] = low[u] = ++counter;
for(; p != NULL; p = p->next) {
int v = p->adjvex;
//节点v未被访问,则(u,v)为树边
if(!visit[v]) {
children++;
parent[v] = u;
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
//case (1)
if(parent[u] == NIL && children > 1) {
printf("articulation point: %d\\n", u);
}
//case (2)
if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
printf("articulation point: %d\\n", u);
}
}
//节点v已访问,则(u,v)为回边
else if(v != parent[u]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
采用邻接表存储图,该算法的时间复杂度应与DFS相同,为O(V+E)。
3. 参考资料
[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量.
[2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支.
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.
以上是关于Tarjan求有向图强连通详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章