关于数论的一些总结

Posted 2020-09-30

结论：我数论太渣了……

言归正传……先列出几个常用的性质/结论

同余式：

1. da≡db (mod m) 则a≡b (mod m/(m,d) ) （这在取遍剩余系会用到）

2. a≡b (mod m)  m‘|m , a≡b (mod m‘)

3. a≡b (mod mi) i=1..k 等价于 a≡b (mod M) M=[m1,m2,..mk]

一般剩余系：

剩余系就是可能余数组成的集合，简化剩余系也称既约剩余系，是模n的完全剩余系的一个子集，其中每个元素与n互素。

1. 模p的剩余系{rk}，若(p,d)=1那么{d*rk}也是模p的剩余系

这个很重要，如果求ax mod p的既约剩余系 大小我们只要利用同余式的性质1

转化为x*a/gcd(a,p) mod (p/gcd(a,p))，根据这个理论 x取值个数就是p/gcd(a,p)

2. 设模m1的既约剩余系为R1,m2的既约剩余系为R2，m1m2互质，则模m1m2的既约剩余系为R={x=m2x1+m1x2 (mod m1m2) | x1∈R1,x2∈R2}

这就告诉我们一个很厉害的东西 S(M)表示M既约剩余系的大小的话，S(M)=S(m1)*S(m2)

这个结论推广到k维就是

3. 设模mk的既约剩余系为Rk, mk两两互质，M=∏mi 则模M的既约剩余系为R={ ∑M*mi^(-1)*ai (mod M) | xi∈Ri }  （唉这不就是中国剩余定理吗……）

因此以后我们求模M的剩余系大小，可以对M质因数分解分别求出后再相乘

 

阶、原根、指标：

 

二次剩余系：

（未完待续……）