动态规划-神奇的口袋V1

Posted 2020-12-10 an-wl

神奇的口袋:有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出
一些物品，这些物品的总体积必须是40。
? John现在有n（1≤n ≤ 20）个想要得到的物品，每个物品
的体积分别是a1，a2 ……an 。John可以从这些物品中选择一
些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的
口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有
多少种不同的选择物品的方式。
输入:输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的
数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别
给出a1，a2 ……an 的值。
输入样例      输出样例
3             3
20
20
20

枚举的解法：枚举每个物品是选还是不选，共2 20次方种情况，这样计算会超时，不可取。
递归实现：从前k种物品中选择一些，凑成体积w的做法数目，
Ways(w,k)的值，既对第k种物品，可能会选择，也可能会不选择
“不选择”表达式的值：Ways(w,k-1)，含义：假设有5个物品，如果k=4，假设不选择第4个物品，
那么就从剩下的3个物品来选择，因为没有选择物品，体积w没有变化；
“选择”的表达式的值：Ways(w-nums[k],k-1)，含义：如果k=4，假设选择了该物品，
那么w的体积就应当减去nums[k]的体积大小，同时，可以选择的物品也减少1,
因此递归表达式为：Ways(w,k) = Ways(w,k-1)+Ways(w-nums[k],k-1)
边界条件：当w=0时，说明刚巧凑够40体积了，符合条件，所以返回1
当k<=0时，说明没有物品可以选择了，满足不了选择够40体积的物品，所以返回0
如果不理解为什么需要“选择”+“不选择”，可以简单这样理解，在“选择”递归中其实也
有可能存在不选择的情况，“不选择”递归中也有可能存在选择的情况，因此，需要把2者都包含进来，
才能把所有可能选择的种数给计算出来。

python代码：

 1 nums = []
 2 
 3 
 4 def Ways(w,k):
 5     if w == 0:
 6         return 1
 7     if k <= 0:
 8         return 0
 9     return Ways(w,k-1)+Ways(w-nums[k],k-1)
10 
11 
12 def main():
13     N = int(input())
14     global nums
15     for i in range(N):
16         nums.append(int(input()))
17     # 为了从序号1开始计算方便，在list0位置增加一个0无意义的数字
18     nums.insert(0,0)
19     total_ways = Ways(40,N)
20     print("有%d种不同的选择物品的方式!"%total_ways)
21 
22 
23 if __name__ == ‘__main__‘:
24     main()