关于矩阵乘法结合律的证明
Posted sun123zxy
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于矩阵乘法结合律的证明相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
其实很naive...
证明的主要意义在于说明两种运算如有分配律就可以做矩乘
若二元运算 (oplus , otimes) 分别满足交换律，且有 (otimes) 对 (oplus) 的分配律，即
[a otimes ( b oplus c ) = a otimes b + a otimes c = (b oplus c) otimes a ]（事实上如果没有交换律矩阵乘法根本就没有意义）
据此定义矩阵乘法 (A * B = C) ，即
[C_{i,j} = igoplus _{k=1}^n A_{i,k} otimes B_{k,j} ]（ (A,B,C) 为矩阵，用 (A_{i,j}) 表示矩阵 (A) 中第 (i) 行第 (j) 列的元素）
则矩阵乘法具有结合律：
[(A*B)*C = A*(B*C) ]
证明：
[egin{aligned}
( ( A*B ) *C ) _{i,j}
&= igoplus_{k=1}^{n} (A*B)_{i,k} otimes C_{k,j} &= igoplus_{k=1}^{n} (igoplus_{l=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k}) otimes C_{k,j} &= igoplus_{k=1}^{n} igoplus_{l=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k} otimes C_{k,j} quad & ext{...分配律} &= igoplus_{l=1}^{n} igoplus_{k=1}^n A_{i,l} otimes B_{l,k} otimes C_{k,j} quad & ext{...交换律更换枚举} &= igoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} otimes ( igoplus_{k=1}^n B_{l,k} otimes C_{k,j} ) quad & ext{...分配律} &= igoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} otimes ({B*C})_{l,j} &= (A*(B*C))_{i,j}
end{aligned}
]
2020/06/06
以上是关于关于矩阵乘法结合律的证明的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章