CF715E

Posted 2020-12-09 knife-rose

CF715E

参考

博主名字好听

考虑没有(0)的情况，对每个(a_i ightarrow b_i)

计环的个数为(m)，那么(a,b)的距离为(n-m)，易证

再考虑题目

建立(2n)个点，(p[1-n])表示位置,(v[1-n])表示数值

对于(a_i eq 0,v_{a_i} ightarrow p_i)，对于每个(b_i eq 0, p_i ightarrow v_{b_i})

其中每个(v_x ightarrow p_y)表示补全后(a_y=x)，(p_x ightarrow v_y)表示补全后(b_x=y)

此时图中存在一些链和环，计环的数量为(c0)，暂时不必考虑

显然一条链或环，(p)点与(v)点交替出现

定义四类链：

以(p)开头，(p)结尾的链，计数为(c1)

以(v)开头，(p)结尾的链，计数为(c2)

以(p)开头，(p)结尾的链，计数为(c3)

以(v)开头，(v)结尾的链，计数为(c4)

环上要求(p,v)节点交替出现，先考虑(1,2,3)类链的连边方法

设(f_i)表示恰好有(i)个仅由(1)类链组成的环时，(1)类链出边的方案数

(1)类链要么连向(1)类链，要么连向(3)类链

我们发现恰好不好算，我们先设(f_i)保证有(i)个仅由(1)类链组成的环时，其他(1)类链出边随意选择的方案数

可以枚举从(c1)中选出(j)条链排成(i)个环，剩下的(c_1-j)条链可以连向(1)类链或(3)类链

得到方程

[f_i=sumlimits_{j=0}^{c1}dbinom{c1}{j}egin{bmatrix}j\iend{bmatrix}A_{c1-j+c3}^{c1-j} ]

那么再将(f_i)更新为恰好的方案数

[f_i=f_i-sumlimits_{j=i+1}^{n}f_jdbinom{j}{i} ]

(j)个环的方案书被重复计数(dbinom{j}{i})

设g_i(表示恰好有)i$个仅由(2)类链组成的环时，(2)类链入边的方案数

同(f_i)求法

令(h=f*g)

那么除了环和(4)类链，还有下面这(4)种长链

(1.1)类链(^n ightarrow) (3)类链( ightarrow) (2)类链(^n)

(2.1)类链(^n ightarrow) (3)类链

(3.3)类链( ightarrow) (2)类链(^n)

(4.3)类链

有性质：

(1.)只包含一条(3)类链

(1.)开头和结尾都是(p)

考虑用(4)类链和长链连接成环，环中长链和(4)类链一定交替出现

设(ans_i)为最终图中有(i)个环的方案数，那么枚举仅由(1)类链和(2)类链组成的环数(j)

因为每条长链只包含一条(3)类链，所以给每条长链标号(1-c3)

[ans_i=sumlimits_{j=0}^{i}h_j*egin{bmatrix}c3\j-iend{bmatrix}*c4! ]

表示每条长链后先接一条(4)类链，再成环

由于(c3=c4)，所以长链后接(4)类链的方案数是(c4!)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define ls(p) (p<<1)
#define rs(p) (p<<1|1)
#define lowbit(i) ((i)&(-i))
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<‘0‘||ch>‘9‘)&&ch!=‘-‘;ch=getchar());
		if(ch==‘-‘) f=0,ch=getchar();
		while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=2010,p=998244353;
	int n,t1,t2;
	int fac[N],ifac[N],inv[N],ans[N],ret[N];
	int f[N],g[N],h[N];
	int a[N],b[N];
	int nxt[N],deg[N];
	bool vis[N];
	int c0,c1,c2,c3,c4;
	int c[N][N],s[N][N],A[N][N];
	inline void init(int n)
	{
		s[0][0]=c[0][0]=A[0][0]=fac[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			fac[i]=fac[i-1]*i%p;
			c[i][0]=A[i][0]=1;
			for(int j=1;j<=i;++j)
			{
				c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
				s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j])%p;
				A[i][j]=(A[i-1][j]+j*A[i-1][j-1])%p;
			}
		}
	}
	inline void work(int cnt,int *f)
	{
		for(int i=0;i<=cnt;++i)
		{
			for(int j=0;j<=cnt;++j)
			{
				f[i]=(f[i]+c[cnt][j]*s[j][i]%p*A[cnt-j+c3][cnt-j]%p);
			}
		}
		for(int i=cnt;i>=0;--i)
		{
			for(int j=i+1;j<=cnt;++j)
			{
				f[i]=(f[i]-f[j]*c[j][i]%p+p)%p;
			}
		}
	}
	inline void dfs(int now,int s,int t)
	{
		vis[now]=1;
		int to=nxt[now];
		if(to)
		{
			if(vis[to]) ++c0;
			else dfs(to,s,t^1);
		}
		else
		{
			if(!s&&t) ++c1;
			else if(s&&!t) ++c2;
			else if(s&&t) ++c3;
			else ++c4;
		}
	}
	inline void main()
	{
		n=read();init(n<<1);
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			if(a[i]) nxt[a[i]+n]=i,++deg[i];
			if(b[i]) nxt[i]=b[i]+n,++deg[b[i]+n];
		}
		for(int i=1;i<=2*n;++i)
			if(!vis[i]&&!deg[i]) dfs(i,i>n,i>n);
		for(int i=1;i<=2*n;++i)
			if(!vis[i]) dfs(i,i>n,i>n);
		work(c1,f);work(c2,g);
		for(int i=0;i<=n;++i)
		{
			for(int j=0;j<=i;++j)
			{
				h[i]=(h[i]+f[j]*g[i-j]%p)%p;
			}
		}
		for(int i=0;i<=n;++i)
		{
			for(int j=0;j<=i;++j)
			{
				ans[i]=(ans[i]+h[j]*s[c3][i-j]%p*fac[c4]%p)%p;
			}
		}
		for(int i=0;i<n;++i)
			if(n-i-c0>=0) ret[i]=ans[n-i-c0];
		for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",ret[i]);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}