UOJ 435 - Simple Tree

Posted 2020-12-09 ycx-akioi

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有一棵大小为(n)的树，根为(1)，节点(i)有一个权值(a_i)。支持(3)种(q)次操作：

1. ( exttt1 x y v)：令所有在路径(x o y)上的点的权值增加(v)，保证(v=pm1)；
2. ( exttt2 x y)：求路径(x o y)上权值(>0)的点数；
3. ( exttt3 x)：求子树(x)内权值(>0)的点数。

一眼重剖。于是转化为线性结构上的区间修改和区间查询。然后就不会了

看到区间查询排名，想到线段树套平衡树，但是这是区间修改，歇的了。

于是，分块是无所不能的（

注意到一个性质，由于(v=pm1)，所以若(a_ileq-q)或(a_igeq q+1)，则([a_i>0])永远无法改变。所以不妨等效地将(<-q)的赋成(-q)，将(>q+1)的赋成(q+1)，此时值域(mathrm O(q))。

考虑将线性结构(a)分成(sz1)块，每块(i)内维护后缀计数(cnT_i)，(cnT_{i,j})表示块(i)内(geq j)的数的个数。再维护一个整体增加标记(add_i)，表示该块被整体增加过多少。

• 区间修改：对于两边不满的块，暴力修改，每个数(pm1)的话(cnT)是可以(mathrm O(1))更新的（当然你重构我也不拦你）。对于中间的整块们，直接修改它们的整体增加标记。(mathrm O!left(sz1+dfrac n{sz1} ight))。

• 区间查询：对于两边不满的块，暴力计数，注意每个数真正的值是它在(a)数组中的值加上所在块的整体增加标记。对于中间的整块(i)们，调用后缀计数，将(cnT_{i,1-add_i})累加进结果即可。最终答案为两种结果加起来。(mathrm O!left(sz1+dfrac n{sz1} ight))。

此时令(sz1=lfloorsqrt n floor)，加上重剖的(log)即可(mathrm O(qsqrt nlog n))完美滚粗。当然往死里卡还是能卡过去的，我才不会告诉你我曾经就卡过去了呢（

接下来用出题人智商分析法。如果仅限于此，那么这题不就成了强行上树了？怎么还能成为集训队作业2018呢？所以这个重剖肯定有深藏不露之处。

事实上：无论是对于区间修改还是区间查询，对整块处理的时间复杂度显然是整块的个数(mathrm O!left(dfrac n{sz1} ight))。一次分块维护(mathrm O!left(dfrac n{sz1} ight))，那么一条链是不是就需要(mathrm O!left(dfrac n{sz1}log n ight))了呢？不，不是。因为重剖出来的区间们不会有交集，那么总的整块的个数依然是(mathrm O!left(dfrac n{sz1} ight))级别的。于是一条链的复杂度就是(mathrm O!left(sz1cdotlog n+dfrac n{sz1} ight))。注意到两项乘积依然为常数，令(sz1cdotlog n=dfrac n{sz1})解得(sz1=sqrt{dfrac n{log n}})（令(sz1=leftlfloorsqrt{dfrac n{log_2n}} ight floor)），此时总时间复杂度为(mathrm O(qsqrt{nlog n}))。

然鹅这样空间复杂度为(mathrm O(qsqrt{nlog n}))，虽然ML很大但还是超过了一倍。注意到(cnT)的值们不会很大，用short存可以说完美，不多不少刚刚好。

常数还是有点大，不过开个O3就AC了。

代码：

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
const int N=100000,QU=100000,DB_SZ=1300;
int n,qu;
bool ol;
vector<int> nei[N+1]; 
int fa[N+1],sz[N+1],wson[N+1],dep[N+1],top[N+1],dfn[N+1],nowdfn,mxdfn[N+1];
void dfs1(int x=1){//重剖预处理，下同 
	sz[x]=1;
	for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
		int y=nei[x][i];
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs1(y);
		sz[x]+=sz[y];
		if(sz[y]>sz[wson[x]])wson[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x=1,int t=1){
	dfn[x]=mxdfn[x]=++nowdfn;
	top[x]=t;
	if(wson[x])dfs2(wson[x],t),mxdfn[x]=mxdfn[wson[x]];
	for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
		int y=nei[x][i];
		if(y==fa[x]||y==wson[x])continue;
		dfs2(y,y);mxdfn[x]=mxdfn[y];
	}
}
int a[N+1];
struct dvdblk{//分块 
	int sz,sz1;
	struct block{int l,r,add;short cnT[2*QU+2];}blk[DB_SZ];
	#define l(p) blk[p].l
	#define r(p) blk[p].r
	#define cnT(p) blk[p].cnT
	#define add(p) blk[p].add
	void bldblk(int p,int l,int r){//构造一个块 
		l(p)=l;r(p)=r;
		add(p)=0;
		for(int i=l;i<=r;i++)cnT(p)[a[i]+qu]++;
		for(int i=2*qu;~i;i--)cnT(p)[i]+=cnT(p)[i+1];
	}
	void init(){//分块初始化 
		sz1=max(1,min(n,int(sqrt(n/max(1.,log2(n))))));
//		printf("sz1=%d
",sz1);
		sz=(n+sz1-1)/sz1;
		for(int i=1;i<=sz;i++)bldblk(i,(i-1)*sz1+1,min(n,i*sz1));
	}
	void _add(int l,int r,int v){//区间修改 
		int pl=(l+sz1-1)/sz1,pr=(r+sz1-1)/sz1;
		if(pl==pr){//不满的块 
			for(int i=l;i<=r;i++)
				if(v==-1){if(a[i]>-qu)cnT(pl)[a[i]-- +qu]--;}
				else{if(a[i]<qu+1)cnT(pl)[++a[i]+qu]++;}
			return;
		}
		//整块 
		for(int i=pl+1;i<pr;i++)add(i)+=v;
		_add(l,r(pl),v);_add(l(pr),r,v);
	}
	int grt0(int l,int r){//区间查询 
		int pl=(l+sz1-1)/sz1,pr=(r+sz1-1)/sz1;
		if(pl==pr){//不满的块 
			int res=0;
			for(int i=l;i<=r;i++)res+=a[i]+add(pl)>0;
//			cout<<l<<" "<<r<<":"<<res<<"
";
			return res;
		}
		//整块 
		int res=0;
		for(int i=pl+1;i<pr;i++)res+=cnT(i)[max(-qu,min(qu+1,1-add(i)))+qu];
		return res+grt0(l,r(pl))+grt0(l(pr),r);
	}
}db;
void add_chn(int x,int y,int v){//链修改 
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		db._add(dfn[top[x]],dfn[x],v);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	db._add(dfn[y],dfn[x],v);
}
int grt0_chn(int x,int y){//链查询 
	int res=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		res+=db.grt0(dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	return res+db.grt0(dfn[y],dfn[x]);
}
int grt0_subt(int x){return db.grt0(dfn[x],mxdfn[x]);}//子树查询 
int main(){
//	cout<<sizeof(db)/1024/1024;
	cin>>n>>qu>>ol;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		nei[x].pb(y);nei[y].pb(x);
	}
	dfs1();dfs2();//重剖 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+dfn[i]);
		a[dfn[i]]=max(-qu,min(qu+1,a[dfn[i]]));//限制值域 
	}
	db.init();//分块初始化 
	int lasans=0;
	for(int i=1;i<=qu;i++){
		int tp,x,y,z;
		scanf("%d%d",&tp,&x);ol&&(x^=lasans);
		if(tp==1)scanf("%d%d",&y,&z),ol&&(y^=lasans),add_chn(x,y,z);
		else if(tp==2)scanf("%d",&y),ol&&(y^=lasans),printf("%d
",lasans=grt0_chn(x,y));
		else printf("%d
",lasans=grt0_subt(x));
	}
	return 0;
}