[OpenGL](翻译+补充)投影矩阵的推导

Posted 2020-12-08 waoyu

1.简介

基本是翻译和补充 http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html

计算机显示器是一个2D的平面，一个3D的场景要被OpenGL渲染必须被投影到2D平面上以生成2D的图像。在OpenGL中，GL_PROJECTION矩阵可以用来进行投影变换。首先，它将所有的顶点数据从相机坐标系(eye coordinates)转换到裁剪坐标系(clip coordinates)，然后通过除以裁剪空间坐标的w值，将裁剪空间坐标系转换到归一化设备坐标系(normalized device coordinates，NDC)

我们需要注意的一点就是，裁剪和NDC变换都通过GL_PROJECTION矩阵来完成。之后的文章，将会利用6个参数来构建投影矩阵，这六个参数是：left，right，bottom，top，near，far，分别为近裁剪面的左右下上边界，近裁剪面，远裁剪面。

视锥体剔除是在裁剪坐标下进行的，在转换到NDC坐标系之前。已经变换到裁剪坐标系的坐标(x_c,y_c,z_c)会和(w_c)进行比较，如果裁剪坐标大于(w_c)或小于(-w_c)，则顶点会被剔除，OpenGL会重建多边形的边。
ps.解释一下为什么要和(w_c)进行比较。因为NDC坐标的范围是([-1,1])，而裁剪坐标和NDC坐标之间的关系是(x_c/w_c = x_n)，所以(x_c)必须得在([-w_c,w_c])之间才可见，其他两个轴同理。不是在NDC坐标阶段进行裁剪，是因为不可见的顶点，没有必要在对其进行运算，会消耗资源。在作用完投影矩阵后，得到的是齐次坐标，OpenGL会自动除以(w_c)，以得到笛卡尔坐标，OpenGL应该是在除以(w_c)之前进行视锥体剔除工作。

2.透视投影

在透视投影中，1个3D的点在一个像被切了一刀的金字塔的视锥体中，此时的坐标系是相机坐标系，这个坐标系会被映射正方体的NDC坐标系中。

• (x:[l,r]->[-1,1])
• (y:[b,t]->[-1,1])
• (z:[-n,-f]->[-1,1])

相机坐标系定义在右手坐标系，NDC是左手坐标系，所以相机朝着-Z的方向看去，而NDC朝着+Z的方向看去。因为glFrustum()裁剪面的参数必须为正数，所以在创建投影矩阵的时候，我们要对其进行去取反。
ps.glFrustum是opengl类库中的函数，它是将当前矩阵与一个透视矩阵相乘，把当前矩阵转变成透视矩阵，在使用它之前，通常会先调用glMatrixMode(GL_PROJECTION).
void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)，left,right指明相对于垂直平面的左右坐标位置，bottom,top指明相对于水平剪切面的下上位置，nearVal,farVal指明相对于深度剪切面的远近的距离，两个必须为正数。

在OpenGL中，1个3D的点将会被投影到近裁剪平面上，下图展示了点((x_e,y_e,z_e))如何投影到((x_p,y_p,z_p))。

在视锥体的顶视图，我们可以利用相似三角形计算(x_p)的值

[frac{x_p}{x_e} = frac{-n}{z_e}x_p = frac{-nx_e}{z_e}=frac{nx_e}{-z_e} ]

同理，在侧视图中，利用相似三角形计算(y_p)的值

[frac{y_p}{y_e} = frac{-n}{z_e}y_p = frac{-ny_e}{z_e}=frac{ny_e}{-z_e} ]

我们观察到(x_p,y_p)都依赖于(z_e)，他们都除以(z_e)，这是第一个线索，来帮助我们构建透视投影矩阵。当相机坐标系经过透视投影矩阵变换后，得到的是裁剪坐标系的齐次坐标，最后通过除以齐次坐标的(w_c)，来得到NDC

[egin{bmatrix} x_c y_c z_c w_c end{bmatrix} =M_{projection} egin{bmatrix} x_e y_e z_e w_e end{bmatrix} , egin{bmatrix} x_n y_n z_n\\end{bmatrix} = egin{bmatrix} x_c/w_c y_c/w_c z_c/w_c\\end{bmatrix} ]

因此我们可以设置(w_c)的值为(-z_e)，现在投影矩阵看起来是

[egin{bmatrix} x_c y_c z_c w_c end{bmatrix} = egin{bmatrix} .&.&.&. .&.&.&. .&.&.&. 0&0&-1&0\\end{bmatrix} egin{bmatrix} x_e y_e z_e w_e end{bmatrix} ]

接着，我们需要将(x_p,y_p)映射到(x_n,y_n)，([l,r]->[-1,1],[b,t]->[-1,1])。
相当于是给定l，我要得到-1，给定r，我要得到1，这不就是给定二维平面上的两个点，求其直线方程的问题。

[令x_n = kx_p+eta，求其斜率为frac{1-(-1)}{r-l}=frac{2}{r-l}带入点(r,1),1 = frac{2r}{r-l}+eta化简求得eta=-frac{r+l}{r-l}最终得x_n = frac{2x_p}{r-l}-frac{r+l}{r-l} ]

[令y_n = ky_p+eta，求其斜率为frac{1-(-1)}{t-b}=frac{2}{t-b}带入点(t,1),1 = frac{2t}{t-b}+eta化简求得eta=-frac{t+b}{t-b}最终得y_n = frac{2y_p}{t-b}-frac{t+b}{t-b} ]

现在有了从(x_e,y_e)到(x_p,y_p)和从(x_p,y_p)到(x_n,y_n)，现在联立一下就可以得到从(x_e,y_e)到(x_n,y_n)的关系表达式。

[x_n = frac{2x_p}{r-l}-frac{r+l}{r-l}x_p = frac{-nx_e}{z_e}=frac{nx_e}{-z_e}最终可以化简为(underbrace{frac{2n}{r-l}x_e+frac{r+l}{r-l}z_e}_{x_c})/-z_e ]

同理

[y_n = frac{2y_p}{t-b}-frac{t+b}{t-b}y_p = frac{-ny_e}{z_e}=frac{ny_e}{-z_e}最终可以化简为(underbrace{frac{2n}{t-b}y_e+frac{t+b}{t-b}z_e}_{y_c})/-z_e ]

现在我们的透视矩阵现在是这个样子

[egin{bmatrix} x_c y_c z_c w_c end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{2n}{r-l}&0&frac{r+l}{r-l}&0 0&frac{2n}{t-b}&frac{t+b}{t-b}&0 .&.&.&. 0&0&-1&0\\end{bmatrix} egin{bmatrix} x_e y_e z_e w_e end{bmatrix} ]

现在还剩下矩阵的第三行。(z_n)和其他两个轴的坐标稍有不同，因为(z_e)总是投影到-n的近裁剪面，但是我们需要不同的z值来进行裁剪和深度测试，另外我们应该可以进行逆操作（逆变换）。因为我们知道z的值不依赖于x，y，我们借用w的值来寻找(z_n,z_e)之间的关系，因此我们指定第三行矩阵为

[egin{bmatrix} x_c y_c z_c w_c end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{2n}{r-l}&0&frac{r+l}{r-l}&0 0&frac{2n}{t-b}&frac{t+b}{t-b}&0 0&0&A&B 0&0&-1&0\\end{bmatrix} egin{bmatrix} x_e y_e z_e w_e end{bmatrix} ]

[z_n = z_c/w_c = frac{Az_e+Bw_e}{-z_e} ]

在相机坐标系中，(w_e)的值是1，因此有(z_n = frac{Az_e+B}{-z_e})，为了获得A和B的值，我们使用((z_e,z_n))的关系，((-n,-1),(-f,1))，然后将他们代入表达式。

[frac{-An+B}{n}=-1\\frac{-Af+B}{f}=1 ]

联立，这是一个简单二元一次方程组，容易求得

[A = -frac{f+n}{f-n}B = -frac{2fn}{f-n} ]

所以最终得到

[z_n = frac{-frac{f+n}{f-n}z_e--frac{2fn}{f-n}}{-z_e} ]

最终整个投影矩阵的表达式为

[egin{bmatrix} x_c y_c z_c w_c end{bmatrix} = egin{bmatrix} frac{2n}{r-l}&0&frac{r+l}{r-l}&0 0&frac{2n}{t-b}&frac{t+b}{t-b}&0 0&0&-frac{f+n}{f-n}&-frac{2fn}{f-n} 0&0&-1&0\\end{bmatrix} egin{bmatrix} x_e y_e z_e w_e end{bmatrix} ]

这个投影矩阵是一般的视锥体，如果是对称的话，有(r=-l,t=-b)，那么有

[r+l=0,r-l=2r(width) +b=0,t-b=2t(height) ]

最后矩阵可以简单的化为

[egin{bmatrix} frac{n}{r}&0&0&0 0&frac{n}{t}&0&0 0&0&-frac{f+n}{f-n}&-frac{2fn}{f-n} 0&0&-1&0\\end{bmatrix} ]

注意观察(z_e,z_n)的关系式，这是一个非线性的反比例函数，这意味着，在近裁剪平面的是很好，精度很高，而在远裁剪面的时候，精度很低。当([-n,-f])很大时，可能导致深度精度问题（z-fighting），一个较小的(z_e)的变化，在远裁剪面可能不会影响(z_n)的值，n和f之间的距离应该短一些，从而最小化这个问题。
ps.因为浮点数会存在精度问题，毕竟计算机的存储是离散的。

3.正交投影

正交投影的要比透视投影简单许多，(x_e,y_e,z_e)相机坐标系将会线性映射到NDC坐标系。我们仅需要将长方体变为正方体，然后移动至原点。

[x_n = frac{1-(-1)}{r-l}x_e+eta代入(r,1)，最终可得x_n = frac{2}{r-l}x_e-frac{r+l}{r-l} ]

同理

[y_n = frac{1-(-1)}{t-b}y_e+eta代入(t,1)，最终可得y_n = frac{2}{t-b}y_e-frac{t+b}{t-b} ]

同理

[z_n = frac{1-(-1)}{-f-(-n)}z_e+eta代入(-f,1)，最终可得z_n = frac{-2}{f-n}z_e-frac{f+n}{f-n} ]

因为w的值在正交投影中不必要，所以我们设置为1，因此正交投影矩阵为

[ egin{bmatrix} frac{2}{r-l}&0&0&-frac{r+l}{r-l} 0&frac{2}{t-b}&0&-frac{t+b}{t-b} 0&0&-frac{2}{f-n}&-frac{f+n}{f-n} 0&0&0&1\\end{bmatrix} ]

同透视投影一样，如果是对称的话，那么就可以矩阵就可以变简单

[ egin{bmatrix} frac{1}{r}&0&0&0 0&frac{1}{t}&0&0 0&0&-frac{2}{f-n}&-frac{f+n}{f-n} 0&0&0&1\\end{bmatrix} ]