完全背包问题(含数学分析)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了完全背包问题(含数学分析)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

问题描述:

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包,每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数,表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
10

解法:

/*朴素解法*//*使用dp来做*/import java.util.*;

public class Main{

    private static Scanner sc=new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args){
        int N=sc.nextInt();//物件个数
        int V=sc.nextInt();//背包容量
        int[] v=new int[N+1];//物件体积
        int[] w=new int[N+1];//物件质量
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            v[i]=sc.nextInt();
            w[i]=sc.nextInt();
        }
        /****运行代码****/
        int[][] dp=new int[N+1][V+1];//定义状态转移数组  
        for(int i=1;i<N+1;i++){
            for(int j=0;j<V+1;j++){
                if(j>=v[i]){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);
    } 
}

分析:
将问题分为选与不选,选可能选多少;
在j>kv的范围内:
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V]+W,
dp[i-1][j-2V]+2W,...,dp[i-1][j-kV]+kW,...);
dp[i][j-V]=
max(dp[i-1][j-V],dp[i-1][j-2V]+W,dp[i-1][j-3V]+2W,...,dp[i-1][j-(k+1)V]+kW,...);
经过发现:
dp[i-1][j-V]+W,dp[i-1][j-2V]+2W,...,dp[i-1][j-kV]+kW,... --> dp[i][j-V]+W;
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-V]+W);

优化代码:

/*滚动数组优化*/
import
java.util.Scanner; public class Main{ public static void main(String[] args) throws Exception { Scanner reader = new Scanner(System.in); int N = reader.nextInt(); int V = reader.nextInt(); int[] v = new int[N + 1] ; int[] w = new int[N + 1] ; for (int i=1 ; i <= N ; i++){ v[i] = reader.nextInt(); w[i] = reader.nextInt(); } reader.close() ; int[] dp = new int[V+1]; for(int i = 1; i <= N; i++){ for(int j = 0; j <=V; j++){ if(j >= v[i]){ dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]); } } } System.out.println(dp[V]); } }

分析:
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);

1.dp[j]-->dp[i][j];
2.for(int j = 0; j <=V; j++)是由小到大遍历;
3.j-v[i]<j成立;所以dp[j-v[i]]比dp[j]要早算出;
4.dp[j-v[i]]-->dp[i][j-v[i]]
故此:两式子等价;

ps:动态规划的优化问题,都是代码等式之间的转换,理论上是对空间进行优化;

户枢不蠹,流水不腐

以上是关于完全背包问题(含数学分析)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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