差分与前缀和 Extra

Posted 2020-12-08 zengpeichen

基础算法戳这里

扩展一：二维前缀和

　　给定一个 $n imes m$ 的矩阵，有 $T$ 次询问，每次会给出四个数 $a,b,c,d$，求以点 $(a,b)$ 为左上角，点 $(c,d)$ 为右下角的矩形所有元素和。

　　$1 le n,m le 3000$，$1 le T le 10^6$。

　　我们先把问题变简单：如何用二维前缀和求出整个矩阵的和？

　　观察一维递推式：$S_i=S_{i-1}+a_i$。

　　那么二维递推式大概长这样 $S_{i,j}=F+a_{i,j}$，$F$ 为由前面递推出的数字。

　　先假设 $F=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}$，但是很容易推翻这个假设，因为从 $(1,1)$ 到 $(i-1,j-1)$ 之间矩阵的所有数被算了两次。

　　所以按照容斥原理，累加值应该减去一份 $S_{i-1,j-1}$。

　　所以 $S_{i,j}=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}-S_{i-1,j-1}+a_{i,j}$，而整个矩阵的和就是 $S_{n,m}$。