De Giorgi Class

Posted 2020-12-08 analysis-pde

今天有抽空看了看散度型抛物方程的De Giorgi方法，Lieberman的书写的也不错，但是如同16年看到De Giorgi Class的证明，他的typos太多了，有时候多的让人费解，这样就扭曲了参考文献的原意。两个特别重要的定理的(De Giorgi-Nash-Moser, Krylov-Safonov 定理)的证明打印错误有一些，即使是第二版也没有修改他们。还有关于$sigma_k$的性质的有一、两个证明也是typos。其实他应该现就直接处理柱形区域就可以了，不必太过于追求一般性，而一般的抛物区域的边界正则性是比较复杂的，有时候把他们当退化椭圆来处理。 16年后再一次拿起陈亚浙教授的二阶抛物型偏微分方程，有尾巴的时候写的也是极其的复杂，原意还是王光烈教授的想法，取只和空间变量有关的截断函数，得到一点时间方向上的连续性，然后用De Giorgi的等周不等式就可以证明密度引理了。我还是退回到最简单的齐次方程来看定理，这样证明就清晰了。记得初学的时候，没有人教(此种情形何其多也!)，就直接卡壳了，16年在IA仔细认真的把这两个定理抛物版本的证明研究了一下，也还算是可以的，总之是比椭圆型的要繁琐很多，主要就是在时间方向上时，如何迭代。 关于抛物型Harnack不等式，在陈亚浙教授的书上已经写得很清楚了，有了密度引理和振幅衰减估计( 可推出Holder连续性)就可以可到Harnack不等式，所用的方法完全是借鉴了Krylov Safonov (Safonov椭圆情形 )文章中的找最大根的方法，而这一步也被Caffarelli借鉴用于证明Harnack不等式的最后一步中（所用函数为$(1-|x|)^{-alpha}$ in $B_1$类型)， 这其实是一个非常好的方法，也就不必像Lieberman那样再用一次Krylov-Safonov的迭代，当然这样去迭代这个想法最早椭圆情形是 Diebennateto-Truding，抛物情形是 王光烈.  

 

 从老家回来后，复习了一下 Giusti写的《Minimal Surface   and  BV》， 在参考De Giorgi的学生Miranda等人写的《Minimal surface of codimen one》时，以前可能没太注意只是直接略过去了，我发现了他们写了De Giorgi原始证明的微微修改过的证明，基本上是原始证明思想，也就是最原始的De Girogi的等周不等式，那是似乎还没有那个在研究生教材里面（等于0的部分占有正测度下界）平平无奇的Poincare不等式(Moser的文章给出了证明)，De Giorgi是从水平集的相对等周不等式和余面积公式(可以用等周不等式和余面积公式来研究$W^{1,1}(R^n)$的sobolev嵌入常数)来给出证明的，他的想法后来被Ladyzhenskaya提取为常见的 De Giorgi等周不等式，并推广至p-Laplace类型的方程，而Caffarelli再次将其简化为A,C,D的测度关系 (能量有限，从0跳到1  Need a room )，将本质上的东西简化为一句话，有限步以后，就到了Threshhold，（如何将测度比例由接近于1，迭代到$frac{1}{2}$）,也就是他09年的演讲中的内容，王立河老师的book上也早已经将这个证明写出来了。关于caffarelli写的Geostraphic方程的讲义中为De Giorgi的证明思想给出了一种极小曲面的解释, 关于那个不等式如何逼近的问题后来在GT的书上找到了合理的解释，需要用一下有界区域(测度有限)的Riese位势的估计. Caffarelli的合作者利用他的想法结合反证法给出散度抛物方程的的Holder估计。

 

相对来讲，还是看Evans写的书或者Qing Han 写的书比较友好。

 

暂时写到这里。