数据结构（赫夫曼树）

Posted 2020-12-08 tianliang-2000

赫夫曼树

　　最优二叉树，WPL值最小（效率最高）；

• 结点的路径长度：从根节点到该结点的路径上的连接数
• 树的路径长度：：树中每个叶子结点的路径长度之和
• 结点带权路径长度：结点路径长度与结点权值的乘积
• WPL树的带权路径长度：是树中所有结点带权路径长度之和

　　利用结点的权重规划二叉树（权重大表示访问频繁），遍历二叉树的时让这些权重大的尽量早的被遍历到；有效的提高了遍历二叉树访问结点的效率

例如：判断成绩优，良，差；根据成绩分布情况规划最优判断结构树

根据赫夫曼树的定义，可以计算出未规划的二叉树：WPL=5+15*2+70*3+10*3=275

规划后WPL=10+70*2+15*3+5*3=210

构造赫夫曼树的过程：

1. 在森林中选出两颗根节点权值最小的二叉树（初始化，时候森林中的二叉树都是只有根节点）
2. 合并两颗二叉树，两二叉树为叶子结点，增加虚拟根结点，权重为左右孩子权之和
3. 再在森林中找出最小的权值的树，放在根节点旁边（整个过程都保持：权值小的放左边，权值大的放右边）
4. 重复 ③ 步骤直到森林取完

赫夫曼编码

　　可以有效的压缩数据，节省20%到90%的空间；

• 定长编码：像ASCII编码，每个字符都标准用两个字节（8个二进制位表示）
• 变长编码：单个编码的长度不一致，可根据整体出现的频率来调节
• 前缀码：没有任何码子是其他码字的前缀（赫夫曼编码就是最优的前缀名）

过程

1. 首先创建一个有序字符队列（以字符出现的频率从小到大排序）
2. 从队列中取出两个权值最小的结点，合并成一棵树，构造出虚拟根节点，权值为两子树的权和，最后把这个结点放入队列，保持队列有序
3. 重复3步骤，直到队列中只只剩下一个结点（即构建出的赫夫曼树）
4. 编码：根据赫夫曼树为叶子结点所代表的字符编码，向左一成编 0，向右一成编 1；直到到达叶子结点即为该字符编码完成；（将所有的字符写进一个编码表文件）
5. 解码：根据赫夫曼编码表，从赫夫曼树根节点出发，为0从根节点走向左子树，为1走向右子树；走到叶子结点时表示解码一个字符

  1 #include<iostream>  
  2 #include<string>  
  3 using namespace std;
  4  
  5 struct Node
  6 {
  7     double weight;  
  8     string ch;  
  9     string code; 
 10     int lchild, rchild, parent;
 11 };
 12 
 13 void Select(Node huffTree[], int *a, int *b, int n)//找权值最小的两个a和b  
 14 {
 15     int i;
 16     double weight = 0; //找最小的数
 17     for (i = 0; i <n; i++)
 18     {
 19         if (huffTree[i].parent != -1)     //判断节点是否已经选过
 20             continue;
 21         else
 22         {
 23             if (weight == 0)
 24             {
 25                 weight = huffTree[i].weight;
 26                 *a = i;
 27             }
 28             else
 29             {
 30                 if (huffTree[i].weight < weight)
 31                 {
 32                     weight = huffTree[i].weight;
 33                     *a = i;
 34                 }
 35             }
 36         }
 37     }
 38     weight = 0; //找第二小的数
 39     for (i = 0; i < n; i++)
 40     {
 41         if (huffTree[i].parent != -1 || (i == *a))//排除已选过的数
 42             continue;
 43         else
 44         {
 45             if (weight == 0)
 46             {
 47                 weight = huffTree[i].weight;
 48                 *b = i;
 49             }
 50             else
 51             {
 52                 if (huffTree[i].weight  < weight)
 53                 {
 54                     weight = huffTree[i].weight;
 55                     *b = i;
 56                 }
 57             }
 58         }
 59     }
 60     int temp;
 61     if (huffTree[*a].lchild < huffTree[*b].lchild)  //小的数放左边
 62     {
 63         temp = *a;
 64         *a = *b;
 65         *b = temp;
 66     }
 67 }
 68 
 69 void Huff_Tree(Node huffTree[], int w[], string ch[], int n)
 70 {
 71     for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) //初始过程
 72     {
 73         huffTree[i].parent = -1;    
 74         huffTree[i].lchild = -1;    
 75         huffTree[i].rchild = -1;  
 76         huffTree[i].code = "";
 77     }
 78     for (int i = 0; i < n; i++)       
 79     {
 80         huffTree[i].weight = w[i];  
 81         huffTree[i].ch = ch[i];     
 82     }
 83     for (int k = n; k < 2 * n - 1; k++)
 84     {
 85         int i1 = 0;
 86         int i2 = 0;
 87         Select(huffTree, &i1, &i2, k); //将i1，i2节点合成节点k
 88         huffTree[i1].parent = k;   
 89         huffTree[i2].parent = k;
 90         huffTree[k].weight = huffTree[i1].weight + huffTree[i2].weight;
 91         huffTree[k].lchild = i1;
 92         huffTree[k].rchild = i2;
 93     }
 94 }
 95  
 96 void Huff_Code(Node huffTree[], int n)
 97 {
 98     int i, j, k;
 99     string s = "";
100     for (i = 0; i < n; i++)  
101     {
102         s = "";         
103         j = i;                
104         while (huffTree[j].parent != -1) //从叶子往上找到根节点
105         {
106             k = huffTree[j].parent;
107             if (j == huffTree[k].lchild) //如果是根的左孩子，则记为0
108             {
109                 s = s + "0";
110             }
111             else               
112             {
113                 s = s + "1";
114             }
115             j = huffTree[j].parent; 
116         }
117         cout << "字符 " << huffTree[i].ch << " 的编码：";
118         for (int l = s.size() - 1; l >= 0; l--)    
119         {
120             cout << s[l];
121             huffTree[i].code += s[l]; //保存编码
122         }
123         cout << endl;
124     }
125 }
126 
127 string Huff_Decode(Node huffTree[], int n,string s)
128 {
129     cout << "解码后为：";
130     string temp = "",str="";//保存解码后的字符串
131     for (int i = 0; i < s.size(); i++)
132     {
133         temp = temp + s[i];
134         for (int j = 0; j < n; j++)
135         {    
136             if (temp == huffTree[j].code)
137             {
138                 str=str+ huffTree[j].ch;
139                 temp = "";
140                 break;
141             }    
142             else if (i == s.size()-1&&j==n-1&&temp!="")//全部遍历后没有
143             {
144                 str= "解码错误！";
145             }
146         }
147     }
148     return str;
149 }
150 
151 int main()
152 {
153     //编码过程
154     const int n=5;
155     Node huffTree[2 * n];
156     string str[] = { "A", "B", "C", "D", "E"};
157     int w[] = { 30, 30, 5, 20, 15 };
158     Huff_Tree(huffTree, w, str, n);
159     Huff_Code(huffTree, n);
160     //解码过程
161     string s;
162     cout << "输入编码：";
163     cin >> s;
164     cout << Huff_Decode(huffTree, n, s)<< endl;;
165     system("pause");
166     return 0;
167 }

赫夫曼编码