[PKUWC2018]猎人杀

Posted 2020-12-08 ac-evil

sol

　　一道生成函数题，要结合容斥。

　　首先有个技巧：设猎人(i)还活着，他被开枪的概率为剩下猎人中按权值分配的概率，这样很麻烦，还需要知道剩余哪些人，其实等价于人都在，但被开枪到死人时要重新开枪的概率。因为对于活着的猎人，被开枪仍然概率不变。这点很重要，因为仍然可以用(p_i=dfrac{w_i}{tot})表示概率，其中(tot=sumlimits_j w_j)。

　　直接算出来(1)号猎人最后挂掉的概率很麻烦，考虑容斥。设集合(Ssubset{2,3,dots,n})表示猎人编号的集合，则可以容斥得到

[ans=1+sum_{S}(-1)^{mid Smid}Pr(S) ]

　　(Pr(S))表示挂在(1)号猎人后面至少为(S)中的猎人的概率。现在来分析这个东西，那么显然前面若干次一定是(overline S)中的人，除了(1)号被淘汰时立刻停止，否则继续。显然是一个无穷级数的求和。记(tot=sum w_i)，(sum=sum_{iin S}w_i)，那么有

[egin{aligned} Pr(S)&=sum_{i=0}^inftyleft(dfrac{tot-sum-w_1}{tot} ight)^i imes dfrac{w_1}{tot}&=dfrac{1}{1-dfrac{tot-sum-w_i}{tot}} imesdfrac{w_1}{tot}&=dfrac{w_1}{sum+w_1} end{aligned} ]

　　那么上面的式子就变成

[ans=1+sum_S(-1)^{mid Smid}dfrac{w_1}{tot+w_1} ]

　　根据数据范围提示，转变枚举方式，考虑枚举(tot)，这个与(S)有关，记(f(i)=sum_{tot=i}(-1)^{mid Smid})，那么式子就变成了

[ans=1+sum_{i}f(i)dfrac{w_1}{i+w_1} ]

　　问题就变成了求解(f)。使用生成函数构造出(f)，令(F=prod(1-x^{w_i}))，则(f(i)=[x^i]F(x))。至此问题得解。