线性代数回顾+深化(未完成版)

Posted winston8086

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数回顾+深化(未完成版)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

线性代数回顾

  • 对角矩阵:只有对角线元素的矩阵,记为diag(a, b, c ...)
  • 矩阵的基本变换是可逆的过程
  • 矩阵的秩:矩阵非零子式的最高阶数。
  • 矩阵的内积:

[(a, b) = sum_{i=1}^na_i*overline{b_i} ]

  • 矩阵的范数:

[||a|| = sqrt{(a, a)} ]

  • 矩阵的范数满足:

[||ca|| = |c| ||a|| ]

其中c是常数。

  • Schwarz不等式:

[|(a, b)| leq ||a||·||b|| ]

当a和b线性依赖时等号成立。

  • 三角不等式:

[||a+b|| leq ||a|| + ||b|| ]

当存在实数c使得b = ca或a = 0

  • 共轭转置矩阵A*的性质
    - 对(m, n)型矩阵A满足(Ax, y) = (x, A*y)
    - 对于Hermite矩阵满足A* = A
    - 满足A*A = AA* = E的矩阵称为幺正矩阵或酉矩阵
    - 满足A‘A = AA‘ = E的矩阵称为正交矩阵
  • 对于复数方块矩阵A,以下4个条件等价
    - A是幺正矩阵。
    - 对于任意的n次向量x有||AX|| = ||x||
    - 对于任意的n次向量x、y有(Ax, Ay) = (x, y)
    - A = (a1 a2 ... an)的情况下,满足(ai, aj) = (delta_{ij}),其中(delta_{ij})克罗内克符号
  • Cramer公式:一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示:

[Ax = c ]

其中的A是一个n×n的方块矩阵,而向量(x=(x_1,x_2,?x_n)^T)是一个长度为n的列向量,(c=(c_1,c_2,?c_n)^T)也相同。Cramner公式说明如果A是一个可逆矩阵,那么方程有解(x=(x_1,x_2,?x_n)^T),其中

[x_i = frac{det(A_i)}{det(A)} ]

其中(A_i)是被c取代了A的第i列向量后得到的矩阵。为了方便我们通常用(Delta)来表示det(A),用(Delta_i)来表示det((A_i)),所以可以写作:

[x_i = frac{Delta_i}{Delta} ]

  • 空间向量的外积:有(x=(x_1,x_2,x_3)^T)(y=(y_1,y_2,y_3)^T),有如下的公式

[x imes y = (x_2y_3 - x_3y_2, x_3y_1 - x_1y_3, x_1y_2 - x_2y_1)^T ]

  • 空间向量的外积有如下的性质:
    - $b imes a = - a imes b
    - (a x b, a) = (a x b, b) = 0
    - a, b线性相关则a x b = 0
    - a, b线性独立则||a x b|| = ||a|| ||b|| (sin heta)
    - 3次行列式的列向量(a_i),满足如下的条件

[(a_1 imes a_2, a_3) = det A = det(a_1, a_2, a_3) ]

未完待续
本博文参考书目:

  • Deep Learning Chapter 2 
  • 大学院入試問題<数学> 数理工学社
  • 演習 大学院入試問題  サイエンス社
  • 线性代数与空间解析几何 高等教育出版社














以上是关于线性代数回顾+深化(未完成版)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性搜索未成功完成

线性选择算法(未完成)

计量经济学 学习笔记(长篇 未完成)

计量经济学 学习笔记(长篇 未完成)

3.线性代数回顾

线性代数回顾(Linear Algebra Review)