HDU-5608(杜教筛)
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HDU-5608(杜教筛)
题意:(G(n)=n^2?3n+2=sum_{d|n}F(d)),求(sum_1^nF(i))
反演得到:(F(n)=sum_{d|n}mu(d)G(frac{n}{d}))
则(sum_1^nF(i)=sum_isum_{d|i}mu(d)G(frac{i}{d}))
(sum_1^nF(i)=sum_{i=1}^{n}G(i)sum_{j=1}^{lfloor frac{n}{i} floor }mu(j))
问题就是要快速求(G(i))前缀和和(mu(i))前缀和
第一个是(O(1))求,第二个是杜教筛
const int N=5e6+10,P=1e9+7;
ll qpow(ll x,ll k=P-2) {
ll res=1;
for(;k;k>>=1,x=x*x%P) if(k&1) res=res*x%P;
return res;
}
const int Inv6=qpow(6);
int n;
char notpri[N],w[N];
int pri[N/4],pc,Sw[N];
map <int,int> M;
int SumG(int n){ // O(1)求出G函数的前缀和
ll ans=1ll*n*(n+1)%P*(2*n+1)%P*Inv6%P;
ans=(ans-3ll*n*(n+1)/2%P+2*n)%P;
ans=(ans%P+P)%P;
return ans;
}
int Sumw(int n){ // 杜教筛求mobius函数前缀和
if(n<N) return Sw[n];
if(M.count(n)) return M[n];
int ans=1;
for(int i=2,j;i<=n;i=j+1) {
j=n/(n/i);
ans-=(j-i+1)*Sumw(n/i);
}
return M[n]=ans;
}
int SumF(int n){ // 答案
int ans=0;
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
j=n/(n/i);
ans=(ans+1ll*(SumG(j)-SumG(i-1))*Sumw(n/i))%P;
}
ans=(ans%P+P)%P;
return ans;
}
int main(){
w[1]=1;
rep(i,2,N-1) {
if(!notpri[i]) pri[++pc]=i,w[i]=-1;
for(int j=1;j<=pc && 1ll*i*pri[j]<N;++j) {
notpri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {
w[i*pri[j]]=0;
break;
}
w[i*pri[j]]=-w[i];
}
}
rep(i,1,N-1) Sw[i]=Sw[i-1]+w[i];
rep(kase,1,rd()) printf("%d
",SumF(rd()));
}
以上是关于HDU-5608(杜教筛)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章