排序

Posted 2020-12-06 vmbn465

如何选择合适的排序算法？

???????线性排序算法的时间复杂度比较低，适用场景比较特殊。所以如果要写一个通用的排序函数，不能选择线性排序算法。

???????如果对小规模数据进行排序，可以选择时间复杂度是 O(n²) 的算法；如果对大规模数据进行排序，时间复杂度是 O(nlogn) 的算法更加高效。所以，为了兼顾任意规模数据的排序，一般都会首选时间复杂度是 O(nlogn) 的排序算法来实现排序函数。

???????但是一般情况下使用的都是快排，虽然归并在平均情况、最坏情况下的时间复杂度都是 O(nlogn)，但它并不是原地排序算法，空间复杂度是 O(n)。所以，粗略点、夸张点讲，如果要排序 100MB 的数据，除了数据本身占用的内存之外，排序算法还要额外再占用 100MB 的内存空间，空间耗费就翻倍了。

???????快速排序比较适合来实现排序函数，但是，我们也知道，快速排序在最坏情况下的时间复杂度是 O(n²)，如何来解决这个“复杂度恶化”的问题呢？

如何优化快速排序？

???????实际上，这种 O(n²) 时间复杂度出现的主要原因还是因为我们分区点选的不够合理。

???????最理想的分区点是：被分区点分开的两个分区中，数据的数量差不多。

???????如果很粗暴地直接选择第一个或者最后一个数据作为分区点，不考虑数据的特点，肯定会出现之前讲的那样，在某些情况下，排序的最坏情况时间复杂度是 O(n2)。为了提高排序算法的性能，我们也要尽可能地让每次分区都比较平均。

???????这里介绍两个比较常用、比较简单的分区算法：

1. 三数取中法

???????我们从区间的首、尾、中间，分别取出一个数，然后对比大小，取这 3 个数的中间值作为分区点。这样每间隔某个固定的长度，取数据出来比较，将中间值作为分区点的分区算法，肯定要比单纯取某一个数据更好。但是，如果要排序的数组比较大，那“三数取中”可能就不够了，可能要“五数取中”或者“十数取中”。

2. 随机法

???????随机法就是每次从要排序的区间中，随机选择一个元素作为分区点。这种方法并不能保证每次分区点都选的比较好，但是从概率的角度来看，也不大可能会出现每次分区点都选的很差的情况，所以平均情况下，这样选的分区点是比较好的。时间复杂度退化为最糟糕的 O(n²) 的情况，出现的可能性不大。

???????我们知道，快速排序是用递归来实现的。我们在递归那一节讲过，递归要警惕堆栈溢出。为了避免快速排序里，递归过深而堆栈过小，导致堆栈溢出，我们有两种解决办法：第一种是限制递归深度。一旦递归过深，超过了我们事先设定的阈值，就停止递归。第二种是通过在堆上模拟实现一个函数调用栈，手动模拟递归压栈、出栈的过程，这样就没有了系统栈大小的限制。

举例分析排序函数

???????为了让你对如何实现一个排序函数有一个更直观的感受，我拿 Glibc 中的 qsort() 函数举例说明一下。虽说 qsort() 从名字上看，很像是基于快速排序算法实现的，实际上它并不仅仅用了快排这一种算法。

???????如果你去看源码，你就会发现，qsort() 会优先使用归并排序来排序输入数据，因为归并排序的空间复杂度是 O(n)，所以对于小数据量的排序，比如 1KB、2KB 等，归并排序额外需要 1KB、2KB 的内存空间，这个问题不大。现在计算机的内存都挺大的，我们很多时候追求的是速度。还记得我们前面讲过的用空间换时间的技巧吗？这就是一个典型的应用。

???????但如果数据量太大，就跟我们前面提到的，排序 100MB 的数据，这个时候我们再用归并排序就不合适了。所以，要排序的数据量比较大的时候，qsort() 会改为用快速排序算法来排序。

???????那 qsort() 是如何选择快速排序算法的分区点的呢？如果去看源码，你就会发现，qsort() 选择分区点的方法就是“三数取中法”。是不是也并不复杂？

???????还有我们前面提到的递归太深会导致堆栈溢出的问题，qsort() 是通过自己实现一个堆上的栈，手动模拟递归来解决的。

???????实际上，qsort() 并不仅仅用到了归并排序和快速排序，它还用到了插入排序。在快速排序的过程中，当要排序的区间中，元素的个数小于等于 4 时，qsort() 就退化为插入排序，不再继续用递归来做快速排序，因为我们前面也讲过，在小规模数据面前，O(n2) 时间复杂度的算法并不一定比 O(nlogn) 的算法执行时间长。我们现在就来分析下这个说法。

???????我们在讲复杂度分析的时候讲过，算法的性能可以通过时间复杂度来分析，但是，这种复杂度分析是比较偏理论的，如果我们深究的话，实际上时间复杂度并不等于代码实际的运行时间。

???????时间复杂度代表的是一个增长趋势，如果画成增长曲线图，你会发现 O(n2) 比 O(nlogn) 要陡峭，也就是说增长趋势要更猛一些。但是，我们前面讲过，在大 O 复杂度表示法中，我们会省略低阶、系数和常数，也就是说，O(nlogn) 在没有省略低阶、系数、常数之前可能是 O(knlogn + c)，而且 k 和 c 有可能还是一个比较大的数。

???????假设 k=1000，c=200，当我们对小规模数据（比如 n=100）排序时，n2的值实际上比 knlogn+c 还要小。

knlogn+c = 1000 * 100 * log100 + 200 远大于10000
n^2 = 100*100 = 10000

???????所以，对于小规模数据的排序，O(n2) 的排序算法并不一定比 O(nlogn) 排序算法执行的时间长。对于小数据量的排序，我们选择比较简单、不需要递归的插入排序算法。
还记得我们之前讲到的哨兵来简化代码，提高执行效率吗？在 qsort() 插入排序的算法实现中，也利用了这种编程技巧。虽然哨兵可能只是少做一次判断，但是毕竟排序函数是非常常用、非常基础的函数，性能的优化要做到极致。

???????好了，C 语言的 qsort() 已经分析完了。