组合数取模 （lucas 定理）

Posted 2020-12-05 katy0308

题目：

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

input:

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)

output:

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

• 原理：
  组合数公式：
  

lucas的转换：

代码：

# include <iostream>
# include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll quickpow(ll a,ll b,ll c)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        ans=(ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll cz(ll a,ll b,ll c)
{    if(b==0) return 1; //eg. c(5,0)=1
    int i;
    if(b>a-b) b=a-b; //减小运算次数 c(5,3)=c(5,2)
    ll up=1,down=1;
    for(i=1;i<=b;i++)
    {  
       up=(up*(a-i+1))%c;
       down=(down*i)%c; 
    }
    return up*quickpow(down,c-2,c)%c;
}
ll lucas(ll a,ll b,ll c)
{
    if(b==0) return 1;
    return cz(a%c,b%c,c)*lucas(a/c,b/c,c);//公式的应用
}

int main()
{
    ll re;
    cin>>re;
    int i,j;
    for(i=0;i<re;i++)
    {
        ll a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;//输入的c只能为质数
        cout<<lucas(a,b,c)<<endl;
    }
    return 0;
    
 }